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【八年級數學(上)全冊教案(新人教版)】 初中數學電子課本

發布時間:2020-09-26 00:09:31 影響了:

第十一章 全等三角形 11.1全等三角形 教學目標:
1了解全等形及全等三角形的的概念;

2 理解全等三角形的性質;

3 在圖形變換以及實際操作的過程中發展學生的空間觀念,培養學生的幾何直覺;

4 學生通過觀察、發現生活中的全等形和實際操作中獲得全等三角形的體驗在探索和運用全等三角形性質的過程中感受到數學的樂趣。

重點:探究全等三角形的性質 難點:掌握兩個全等三角形的對應邊,對應角 教學過程:
觀察下列圖案,指出這些圖案中中形狀與大小相同的圖形 問題:你還能舉出生活中一些實際例子嗎? 這些形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合。能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形 能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形 引導學生完成課本P3思考:
歸納: 一個圖形經過平移、翻折、旋轉后,位置變化了,但形狀、大小都沒有改變,即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等。

“全等”用“≌”表示,讀作“全等于” 兩個三角形全等時,通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上,如⊿ABC和⊿DEF全等時,點A和點D,點B和點E,點C和點F是對應頂點,記作⊿ABC≌⊿DEF。把兩個全等的三角形重合到一起,重合的頂點叫做對應頂點,重合的邊叫做對應邊,重合的角叫做對應角 思考:如課本P3思考圖11.1-1中,⊿ABC≌⊿DEF,對應邊有什么關系?對應角呢? 歸納: 全等三角形性質:
全等三角形的對應邊相等;

全等三角形的對應角相等。

思考:
(1)下面是兩個全等的三角形,按下列圖形的位置擺放,指出它們的對應頂點、對應邊、對應角 (2)將⊿ABC沿直線BC平移,得到⊿DEF,說出你得到的結論,說明理由? (3)如圖,⊿ABE≌⊿ACD, AB與AC,AD與AE是對應邊,已知:∠A=43°,∠B=30°,求∠ADC的大小。

作業:P4習題11.1第1,2,3題。

課題:11.2 三角形全等的判定(1) 教學目標 ①經歷探索三角形全等條件的過程,體會利用操作、歸納獲得數學結論的過程. ②掌握三角形全等的“邊邊邊”條件,了解三角形的穩定性. ③通過對問題的共同探討,培養學生的協作精神. 教學難點 三角形全等條件的探索過程. 一、復習過程,引入新知 多媒體顯示,帶領學生復習全等三角形的定義及其性質,從而得出結論:全等三角形三條邊對應相等,三個角分別對應相等.反之,這六個元素分別相等,這樣的兩個三角形一定全等. 二、創設情境,提出問題 根據上面的結論,提出問題:兩個三角形全等,是否一定需要六個條件呢?如果只滿足上述六個條件中的一部分,是否也能保證兩個三角形全等呢? 組織學生進行討論交流,經過學生逐步分析,各種情況逐漸明朗,進行交流予以匯總歸納. 三、建立模型,探索發現 出示探究1,先任意畫一個△ABC,再畫一個△A'B'C',使△ABC與△A'B'C',滿足上述條件中的一個或兩個.你畫出的△A'B'C'與△ABC一定全等嗎? 讓學生按照下面給出的條件作出三角形. (1)三角形的兩個角分別是30°、50°. (2)三角形的兩條邊分別是4cm,6cm. (3)三角形的一個角為30°,—條邊為3cm. 再通過畫一畫,剪一剪,比一比的方式,得出結論:只給出一個或兩個條件時,都不能保證所畫出的三角形一定全等. 出示探究2,先任意畫出一個△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA,把畫好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它們全等嗎? 讓學生充分交流后,在教師的引導下作出△A'B'C',并通過比較得出結論:三邊對應相等的兩個三角形全等. 四、應用新知,體驗成功 實物演示:由三根木條釘成的一個三角形的框架,它的大小和形狀是固定不變的. 鼓勵學生舉出生活中的實例. 給出例l,如下圖△ABC是一個鋼架,AB=AC,AD是連接點A與BC中點D的支架,求證△ABD≌△ACD. 讓學生獨立思考后口頭表達理由,由教師板演推理過程. 例2 如圖是用圓規和直尺畫已知角的平分線的示意圖,作法如下:
①以A為圓心畫弧,分別交角的兩邊于點B和點C;

②分別以點B、C為圓心,相同長度為半徑畫兩條弧,兩弧交于點D;

③畫射線AD. AD就是∠BAC的平分線.你能說明該畫法正確的理由嗎? 例3 如圖四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC,你能把四邊形ABCD分成兩個相互全等的三角形嗎?你有幾種方法?你能證明你的方法嗎?試一試. 五、鞏固練習:課本P8頁的練習. 六、反思小結 回顧反思本節課對知識的研究探索過程、小結方法及結論,提煉數學思想,掌握數學規律. 七、布置作業 課本P15習題11.2第1、2題. . 課題:11.2 三角形全等的判定2) 教學目標 ①經歷探索三角形全等條件的過程,培養學生觀察分析圖形能力、動手能力. ②在探索三角形全等條件及其運用的過程中,能夠進行有條理的思考并進行簡單的推理. ③通過對問題的共同探討,培養學生的協作精神. 教學難點 指導學生分析問題,尋找判定三角形全等的條件. 知識重點 應用“邊角邊”證明兩個三角形全等,進而得出線段或角相等. 教學過程(師生活動) 一、情境,引入課題 多媒體出示探究3:已知任意△ABC,畫△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A. 教帥點撥,學生邊學邊畫圖,再讓學生把畫好的△A'B'C',剪下放在△ABC上,觀察這兩個三角形是否全等. 二、交流對話,探求新知 根據前面的操作,鼓勵學生用自己的語言來總結規律:
兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.(SAS) 補充強調:角必須是兩條相等的對應邊的夾角,邊必須是夾相等角的兩對邊. 三、應用新知,體驗成功 出示例2,如圖,有—池塘,要測池塘兩端A、B的距離,可先在平地上取一個可以直接到達A和B的點C,連接AC并延長到D,使CD=CA,連接BC并延長到E,使CE=CB.連接DE,那么量出DE的長就是A、B的距離,為什么? 讓學生充分思考后,書寫推理過程,并說明每一步的依據. (若學生不能順利得到證明思路,教師也可作如下分析:
要想證AB=DE, 只需證△ABC≌△DEC △ABC與△DEC全等的條件現有……還需要……) 明確證明分別屬于兩個三角形的線段相等或者角相等的問題,常常通過證明這兩個三角形全等來解決. 補充例題:
1、已知:如圖AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE 求證:
△ABD≌△ACE 證明:∵∠BAC=∠DAE(已知) ∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD ∴∠BAD=∠CAE 在△ABD與△ACE AB=AC(已知) ∠BAD= ∠CAE (已證) AD=AE(已知) ∴△ABD≌△ACE(SAS) 思考:
求證:1.BD=CE 2. ∠B= ∠C 3. ∠ADB= ∠AEC 變式1:已知:如圖,AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE. 求證:
△DAC≌△EAB BE=DC ∠B= ∠ C ∠ D= ∠ E BE⊥CD 四、再次探究,釋解疑惑 出示探究4,我們知道,兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.由“兩邊及其中一邊的對角對應相等”的條件能判定兩個三角形全等嗎?為什么? 讓學生模仿前面的探究方法,得出結論:兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等. 教師演示:方法(一)教科書10頁圖11.2-7. 方法(二)通過畫圖,讓學生更直觀地獲得結論. 五、鞏固練習 課本P10頁,練習1、2. 六、小結提高 1.判定三角形全等的方法;

2.證明線段、角相等常見的方法有哪些?讓學生自由表述,其他學生補充,讓學生自己將知識系統化,以自己的方式進行建構. 七、布置作業 1.課本P15頁,習題11.2第3、4題. 2.選作題:
(1)小明做了一個如圖所示的風箏,測得DE=DF,EH=FH,你能發現哪些結淪?并說明理由. (2)如圖,∠1=∠2,AB=AD,AE=AC,求證BC=DE. 課題:
11.2 三角形全等的判定(3) 教學目標 ①探索并掌握兩個三角形全等的條件:“ASA”“AAS”,并能應用它們判別兩個三角形是否全等. ②經歷作圖、比較、證明等探究過程,提高分析、作圖、歸納、表達、邏輯推理等能力;
并通過對知識方法的總結,培養反思的習慣,培養理性思維. ③敢于面對教學活動中的困難,能通過合作交流解決遇到的困難. 教學重點 理解,掌握三角形全等的條件:“ASA”“AAS”. 教學難點 探究出“ASA”“AAS”以及它們的應用. 教學過程(師生活動) 創設情境 復習:
師:我們已經知道,三角形全等的判定條件有哪些? 生:“SSS”“SAS” 師:那除了這兩個條件,滿足另一些條件的兩個三角形是否 也可能全等呢?今天我們就來探究三角形全等的另一些條件。

探究新知:
一張教學用的三角形硬紙板不小心 被撕壞了,如圖,你能制作一張與原來 同樣大小的新教具?能恢復原來三角形 的原貌嗎? 1.師:我們先來探究第一種情況.(課件出示“探究5……”) (1)探究5 先任意畫出一個△ABC,再畫一個△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B(即使兩角和它們的夾邊對應相等).把畫好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它們全等嗎? 師:怎樣畫出△A'B'C'?先自己獨立思考,動手畫一畫。

在畫的過程中若遇到不能解決的問題.可小組合作交流解決. 生:獨立探究,試著畫△A'B'C',(有問題的,可以小組內交流解決……)…… (2)全班討論交流 我們又增加了—種判別三角形全等的方法.特別應 注意,“邊”必須是“兩角的夾邊”. 練習:已知:如圖,AB=A’C,∠A=∠A’,∠B=∠C 求證:△ABE≌ △A’CD 例1. 已知:點D在AB上,點E在AC上,BE和CD 相交于點O,AB=AC,∠B=∠C。

求證:BD=CE 2.探究6 師:我們再看看下面的條件:
在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC與△DEF全等嗎?能利用角邊角條件證明你的結論嗎? 師:看已知條什,能否用“角邊角”條件證明. 師:你是怎么證明的? (根據學生的不同探究結果,進行不同的引導) 師:從這可以看出,從這些已知條件中能得出兩個三角形全等.這又反映了一個什么規律? 師:生1很好,這條件我們可以簡寫成“角角邊”或“AAS”,又增加了判定兩個三角形全等的一個條件. 強調“AAS”中的邊是“其中一個角的對邊”. 多讓幾個學生描述,進一步培養歸納、表達的能力. 例2.課本P12頁例3。

師:從這道例題中,我們又得出了證明線段相等的又一方法,先證兩線段所在的三角形全等,這樣,對應邊也就相等了. 探究7:
(1)三角對應相等的兩個三角形全等嗎? 師:想想,怎樣來探究這個問題? 引導學生通過“畫兩個三角對應相等的三角形”,看是否一定全等,或“用兩個同一形狀但大小不同的三角板”等等方法來探究說明. 師:這一規律我們可以怎樣表達? (2)師:說得非常好.現在我們來小結一下;
判定兩個三角形全等我們已有了哪些方法? SSS SAS ASA AAS 小結提高 師:這節課通過對兩個三角形全等條件的進一步探究,你有什么收獲? 鞏固練習 課本P13頁,練習1、2. 布置作業 1.課本P15頁習題11.2第6、11題 2.如圖,小明不慎將一塊三角形模具打碎為兩塊,他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去,就能配一塊與原來一樣的三角形模具呢?如果可以,帶哪塊去合適?為什么? 課題:
11.2 三角形全等的判定(4) 教學目標 ①探索并掌握兩個直角三角形全等的條件:HL,并能應用它判別兩個直角三角形是否全等. ②經歷作圖、比較、證明等探究過程,提高分析、作圖、歸納、表達、邏輯推理等能力;
并通過對知識方法的總結,培養反思的習慣,培養理性思維. ③提高應用數學的意識. 教學重點 理解,掌握三角形全等的條件:HL. 教學過程: 提問:
1、判定兩個三角形全等方法有:
, , , 。

創設情境:
(顯示圖片),舞臺背景的形狀是兩個直角三角形,工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等,但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量. (1)你能幫他想個辦法嗎? 方法一:測量斜邊和一個對應的銳角. (AAS) 方法二:測量沒遮住的一條直角邊和一個對應的銳角. (ASA)或(AAS) ⑵ 如果他只帶了一個卷尺,能完成這個任務嗎? 工作人員測量了每個三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊,發現它們分別對應相等,于是他就肯定“兩個直角三角形是全等的”.你相信他的結論嗎? 下面讓我們一起來驗證這個結論。

新課:
已知線段a、c(a﹤c)和一個直角α,利用尺規作一個Rt△ABC,使∠C= ∠ α ,CB=a,AB=c. 想一想,怎樣畫呢? 按照下面的步驟做一做:
⑴ 作∠MCN=∠α=90°; ⑵ 在射線CM上截取線段CB=a ⑶ 以B為圓心,C為半徑畫弧,交射線CN于點A; ⑷ 連接AB. ⑴ △ABC就是所求作的三角形嗎? ⑵ 剪下這個三角形,和其他同學所作的三角形進行比較,它們能重合嗎? 直角三角形全等的條件 斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等. 簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”. 想一想 你能夠用幾種方法說明兩個直角三角形全等? 直角三角形是特殊的三角形,所以不僅有一般 三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS, 還有直角三角形特殊的判定方法——“HL”. 練一練:
1. 如圖,兩根長度為12米的繩子,一端系在旗桿上, 另一端分別固定在地面兩個木樁上,兩個木樁離旗 桿底部的距離相等嗎?請說明你的理由。

2.如圖,有兩個長度相同的滑梯,左邊滑梯的高度AC 與右邊滑梯水平方向的長度DF相等,兩個滑梯的傾 斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么關系? 解:∠ABC+∠DFE=90°.理由如下:
在Rt△ABC和Rt△DEF中, 則 BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ABC=∠DEF (全等三角形對應角相等). 又 ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°. 小結:這節課你有什么收獲呢?與你的同伴進行交流 作業:課本P16頁第7、8題。

§11.3.1 角的平分線的性質(一) 教學目標 (一)教學知識點 角平分線的畫法. (二)能力訓練要求 1.應用三角形全等的知識,解釋角平分線的原理. 2.會用尺規作一個已知角的平分線. (三)情感與價值觀要求 在利用尺規作圖的過程中,培養學生動手操作能力與探索精神. 教學重點:利用尺規作已知角的平分線. 教學難點:角的平分線的作圖方法的提煉. 教學過程:
一.提出問題,創設情境 問題1:三角形中有哪些重要線段. 問題2:你能作出這些線段嗎? 如果老師手里只有直尺和圓規,你能幫我設計一個作角的平分線的操作方案嗎? 二.導入新課 議一議:下圖是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎? 教師活動:
演示角平分儀器的操作過程,使學生直觀了解得到射線AC的方法. AB=AD BC=DC AC=AC 所以△ABC≌△ADC(SSS). 所以∠CAD=∠CAB. 即射線AC就是∠DAB的平分線. 老師再提出問題:
通過上述探究,能否總結出尺規作已知角的平分線的一般方法.自己動手做做看.然后與同伴交流操作心得. (分小組完成這項活動,教師可參與到學生活動中,及時發現問題,給予啟發和指導,使講評更具有針對性) 討論結果展示:
作已知角的平分線的方法:
已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分線. 作法:
(1)以O為圓心,適當長為半徑作弧,分別交OA、OB于M、N. (2)分別以M、N為圓心,大于MN的長為半徑作弧.兩弧在∠AOB內部交于點C. (3)作射線OC,射線OC即為所求. (教師根據學生的敘述,作多媒體課件演示,使學生能更直觀地理解畫法,提高學習數學的興趣). 議一議:
1.在上面作法的第二步中,去掉“大于MN的長”這個條件行嗎? 2.第二步中所作的兩弧交點一定在∠AOB的內部嗎? (設計這兩個問題的目的在于加深對角的平分線的作法的理解,培養數學嚴密性的良好學習習慣) 學生討論結果總結:
1.去掉“大于MN的長”這個條件,所作的兩弧可能沒有交點,所以就找不到角的平分線. 2.若分別以M、N為圓心,大于MN的長為半徑畫兩弧,兩弧的交點可能在∠AOB的內部,也可能在∠AOB的外部,而我們要找的是∠AOB內部的交點,否則兩弧交點與頂點連線得到的射線就不是∠AOB的平分線了. 3.角的平分線是一條射線.它不是線段,也不是直線,所以第二步中的兩個限制缺一不可. 4.這種作法的可行性可以通過全等三角形來證明. 練一練:任意畫一角∠AOB,作它的平分線. 三.隨堂練習:課本P19練習. 練后總結:
平角∠AOB的平分線OC與直線AB垂直.將OC反向延長得到直線CD,直線CD與AB也垂直. 四.課時小結 本節課中我們利用已學過的三角形全等的知識,探究得到了角平分線儀器的操作原理,由此歸納出角的平分線的尺規畫法,進一步體會溫故而知新是一種很好的學習方法. 五.課后作業 課本P22習題11.2第1、2題. §11.3.2 角的平分線的性質(二) 教學目標 (一)教學知識點:角的平分線的性質 (二)能力訓練要求 1.會敘述角的平分線的性質及“到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”. 2.能應用這兩個性質解決一些簡單的實際問題. (三)情感與價值觀要求 通過折紙、畫圖、文字一符號的翻譯活動,培養學生的聯想、探索、概括歸納的能力,激發學生學習數學的興趣. 教學重點:角平分線的性質及其應用. 教學難點:靈活應用兩個性質解決問題. 教學方法:探索、歸納的方法. 教學過程 一.創設情境,引入新課 [師]請同學們拿出準備好的折紙與剪刀,自己動手,剪一個角,把剪好的角對折,使角的兩邊疊合在一起,再把紙片展開,你看到了什么?把對折的紙片再任意折一次,然后把紙片展開,又看到了什么? 二.導入新課 角平分線的性質即已知角的平分線,能推出什么樣的結論. 操作:
1.折出如圖所示的折痕PD、PE. 2.你與同伴用三角板檢測你們所折的折痕是否符合圖示要求. 畫一畫:
按照折紙的順序畫出一個角的三條折痕,并度量所畫PD、PE是否等長? 拿出兩名同學的畫圖,放在投影下,請大家評一評,以達明確概念的目的. 問題1:你能用文字語言敘述所畫圖形的性質嗎? 問題2:(出示投影片) 能否用符號語言來翻譯“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”這句話.請填下表:
學生通過討論作出下列概括:
已知事項:OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,D、E為垂足. 由已知事項推出的事項:PD=PE. 于是我們得角的平分線的性質:
在角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等. [師]那么到角的兩邊距離相等的點是否在角的平分線上呢?(出示投影) 問題3:根據下表中的圖形和已知事項,猜想由已知事項可推出的事項,并用符號語言填寫下表:
下面請同學們思考一個問題. 思考:如圖所示,要在S區建一個集貿市場,使它到公路、鐵路距離相等,離公路與鐵路交叉處500m,這個集貿市場應建于何處(在圖上標出它的位置,比例尺為1:20000)? 1.集貿市場建于何處,和本節學的角平分線性質有關嗎?用哪一個性質可以解決這個問題? 2.比例尺為1:20000是什么意思? 討論結果展示:
1.應該是用第二個性質.這個集貿市場應該建在公路與鐵路形成的角的平分線上,并且要求離角的頂點500米處. 2.在紙上畫圖時,我們經常在厘米為單位,而題中距離又是以米為單位,這就涉及一個單位換算問題了. 1m=100cm,所以比例尺為1:20000,其實就是圖中1cm表示實際距離200m的意思.作圖如下:
第一步:尺規作圖法作出∠AOB的平分線OP. 第二步:在射線OP上截取OC=2.5cm,確定C點,C點就是集貿市場所建地了. 總結:應用角平分線的性質,就可以省去證明三角形全等的步驟,使問題簡單化.所以若遇到有關角平分線,又要證線段相等的問題,我們可以直接利用性質解決問題. [例]如圖,△ABC的角平分線BM、CN相交于點P. 求證:點P到三邊AB、BC、CA的距離相等. [師生共析]點P到AB、BC、CA的垂線段PD、PE、PF的長就是P點到三邊的距離,也就是說要證:PD=PE=PF.而BM、CN分別是∠B、∠C的平分線,根據角平分線性質和等式的傳遞性可以解決這個問題. 證明:過點P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足為D、E、F. 因為BM是△ABC的角平分線,點P在BM上. 所以PD=PE. 同理PE=PF. 所以PD=PE=PF. 即點P到三邊AB、BC、CA的距離相等. 三.隨堂練習 1.課本P22練習. 2.課本P22習題11.3第3題. 在這里要提醒學生直接利用角平分線的性質,無須再證三角形全等. 四.課時小結 今天,我們學習了關于角平分線的兩個性質:①角平分線上的點到角的兩邊的距離相等;
②到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.它們具有互逆性,可以看出,隨著研究的深入,解決問題越來越簡便了.像與角平分線有關的求證線段相等、角相等問題,我們可以直接利用角平分線的性質,而不必再去證明三角形全等而得出線段相等. 五.課后作業:課本P22頁習題11.3第4、5、6題. 第十二章 軸對稱 §12.1 軸對稱(一) 教學目標 1.在生活實例中認識軸對稱圖. 2.分析軸對稱圖形,理解軸對稱的概念. 教學重點:軸對稱圖形的概念. 教學難點:能夠識別軸對稱圖形并找出它的對稱軸. 教學過程 Ⅰ.創設情境,引入新課 我們生活在一個充滿對稱的世界中,許多建筑物都設計成對稱形,藝術作品的創作往往也從對稱角度考慮,自然界的許多動植物也按對稱形生長,中國的方塊字中些也具有對稱性……對稱給我們帶來多少美的感受!初步掌握對稱的奧秒,不僅可以幫助我們發現一些圖形的特征,還可以使我們感受到自然界的美與和諧. 軸對稱是對稱中重要的一種,從這節課開始,我們來學習第十二章:軸對稱.今天我們來研究第一節,認識什么是軸對稱圖形,什么是對稱軸. Ⅱ.導入新課 出示課本的圖片,觀察它們都有些什么共同特征. 這些圖形都是對稱的.這些圖形從中間分開后,左右兩部分能夠完全重合. 小結:對稱現象無處不在,從自然景觀到分子結構,從建筑物到藝術作品,甚至日常生活用品,人們都可以找到對稱的例子.現在同學們就從我們生活周圍的事物中來找一些具有對稱特征的例子. 結論:如果一個圖形沿一直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形就叫做軸對稱圖形,這條直線就是它的對稱軸.這時,我們也說這個圖形關于這條直線(成軸)對稱. 了解了軸對稱圖形及其對稱軸的概念后,我們來做一做. 取一張質地較硬的紙,將紙對折,并用小刀在紙的中央隨意刻出一個圖案,將紙打開后鋪平,你得到兩個成軸對稱的圖案了嗎?與同伴進行交流. 結論:位于折痕兩側的圖案是對稱的,它們可以互相重合. 由此可以得到軸對稱圖形的特征:一個圖形沿一條直線折疊后,折痕兩側的圖形完全重合. 接下來我們來探討一個有關對稱軸的問題.有些軸對稱圖形的對稱軸只有一條,但有的軸對稱圖形的對稱軸卻不止一條,有的軸對稱圖形的對稱軸甚至有無數條。

下列各圖,你能找出它們的對稱軸嗎? 結果:圖(1)有四條對稱軸;
圖(2)有四條對稱軸;
圖(3)有無數條對稱軸;
圖(4)有兩條對稱軸;
圖(5)有七條對稱軸. (1) (2) (3) (4) (5)展示掛圖,大家想一想,你發現了什么? 像這樣,把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱,這條直線叫做對稱軸,折疊后重合的點是對應點,叫做對稱點. Ⅲ.隨堂練習:課本P30練習和 P31練習 Ⅳ.課時小結 這節課我們主要認識了軸對稱圖形,了解了軸對稱圖形及有關概念,進一步探討了軸對稱的特點,區分了軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱. Ⅴ.作業:課本P36習題12.1第1、2、6、7、8題. Ⅵ.活動與探究:課本P31思考. 成軸對稱的兩個圖形全等嗎?如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形,那么這兩個圖形全等嗎?這兩個圖形對稱嗎? 過程:在硬紙板上畫兩個成軸對稱的圖形,再用剪刀將這兩個圖形剪下來看是否重合.再在硬紙板上畫出一個軸對稱圖形,然后將該圖形剪下來,再沿對稱軸剪開,看兩部分是否能夠完全重合. 結論:成軸對稱的兩個圖形全等.如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形,這兩個圖形全等,并且也是成軸對稱的. 軸對稱是說兩個圖形的位置關系,而軸對稱圖形是說一個具有特殊形狀的圖形. 軸對稱的兩個圖形和軸對稱圖形,都要沿某一條直線折疊后重合;
如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分,那么這兩個圖形就關于這條直線成軸對稱;
反過來,如果把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體,那么它就是一個軸對稱圖形. 板書設計 §12.1 軸對稱(一) 一、軸對稱:如果一個圖形沿一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠完全重合,這個圖形就叫軸對稱圖形,這條直線叫對稱軸. 二、兩個圖形成軸對稱:把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱. §12.1 軸對稱(二) 教學目標 1.了解兩個圖形成軸對稱性的性質,了解軸對稱圖形的性質. 2.探究線段垂直平分線的性質. 3.經歷探索軸對稱圖形性質的過程,進一步體驗軸對稱的特點,發展空間觀察. 教學重點; 1.軸對稱的性質. 2.線段垂直平分線的性質. 教學難點:
體驗軸對稱的特征. 教學過程:
Ⅰ.創設情境,引入新課 上節課我們共同探討了軸對稱圖形,知道現實生活中由于有軸對稱圖形,而使得世界非常美麗.那么大家想一想,什么樣的圖形是軸對稱圖形呢? 今天繼續來研究軸對稱的性質. Ⅱ.導入新課:觀看投影并思考. 如圖,△ABC和△A′B′C′關于直線MN對稱,點A′、B′、C′分別是點A、B、C的對稱點,線段AA′、BB′、CC′與直線MN有什么關系? 圖中A、A′是對稱點,AA′與MN垂直,BB′和CC′也與MN垂直. AA′、BB′和CC′與MN除了垂直以外還有什么關系嗎? △ABC與△A′B′C′關于直線MN對稱,點A′、B′、C′分別是點A、B、C的對稱點,設AA′交對稱軸MN于點P,將△ABC和△A′B′C′沿MN對折后,點A與A′重合,于是有AP=A′P,∠MPA=∠MPA′=90°.所以AA′、BB′和CC′與MN除了垂直以外,MN還經過線段AA′、BB′和CC′的中點. 對稱軸所在直線經過對稱點所連線段的中點,并且垂直于這條線段.我們把經過線段中點并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線. 下面我們來探究線段垂直平分線的性質. [探究1] 如下圖.木條L與AB釘在一起,L垂直平分AB,P1,P2,P3,…是L上的點,分別量一量點P1,P2,P3,…到A與B的距離,你有什么發現? 1.用平面圖將上述問題進行轉化,先作出線段AB,過AB中點作AB的垂直平分線L,在L上取P1、P2、P3…,連結AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… 2.作好圖后,用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…討論發現什么樣的規律. 探究結果:
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.即AP1=BP1,AP2=BP2,… [探究2] 如右圖.用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋,做一個簡易的“弓”,“箭”通過木棒中央的孔射出去,怎么才能保持出箭的方向與木棒垂直呢?為什么? 活動:1.用平面圖形將上述問題進行轉化.作線段AB,取其中點P,過P作L,在L上取點P1、P2,連結AP1、AP2、BP1、BP2.會有以下兩種可能. 2.討論:要使L與AB垂直,AP1、AP2、BP1、BP2應滿足什么條件? 探究過程:
1.如上圖甲,若AP1≠BP1,那么沿L將圖形折疊后,A與B不可能重合,也就是∠APP1≠∠BPP1,即L與AB不垂直. 2.如上圖乙,若AP1=BP1,那么沿L將圖形折疊后,A與B恰好重合,就有∠APP1=∠BPP1,即L與AB重合.當AP2=BP2時,亦然. 探究結論:
與一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.也就是說在[探究2]圖中,只要使箭端到弓兩端的端點的距離相等,就能保持射出箭的方向與木棒垂直. [師]上述兩個探究問題的結果就給出了線段垂直平分線的性質,即:線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等;
反過來,與這條線段兩個端點距離相等的點都在它的垂直平分線上.所以線段的垂直平分線可以看成是與線段兩端點距離相等的所有點的集合. Ⅲ.隨堂練習:
課本P34練習 1、2. Ⅳ.課時小結 這節課通過探索軸對稱圖形對稱性的過程,了解了線段的垂直平分線的有關性質,同學們應靈活運用這些性質來解決問題. Ⅴ.課后作業:
課本P36習題12.1第3、4、9題. 板書設計 §12.1 軸對稱(二) 一、復習:軸對稱圖形. 二、線段垂直平分線的定義:經過線段中點并且垂直于這條線段的直線,叫做線段的垂直平分線. 三、圖形軸對稱的性質:如果兩個圖形關于某條直線對稱,那么對稱軸是任何一對對稱點所連線段的垂直平分線.類似地,軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對稱點所連線段的垂直平分線. 四、線段垂直平分線的性質:線段垂直平分線的點到這條線段兩個端點的距離相等;
反過來,與這條線段兩個端點距離相等的點都在它的垂直平分線上. §12.2.1 作軸對稱圖形 教學目標 1.通過實際操作,了解什么叫做軸對稱變換. 2.如何作出一個圖形關于一條直線的軸對稱圖形. 教學重點 1.軸對稱變換的定義. 2.能夠按要求作出簡單平面圖形經過軸對稱后的圖形. 教學難點 1.作出簡單平面圖形關于直線的軸對稱圖形. 2.利用軸對稱進行一些圖案設計. 教學過程 Ⅰ.設置情境,引入新課 在前一個章節,我們學習了軸對稱圖形以及軸對稱圖形的一些相關的性質問題.在上節課的作業中,我們有個要求,讓同學們自己思考一種作軸對稱圖形的方法,現在來看一下同學們完成的怎么樣. 將一張紙對折后,用針尖在紙上扎出一個圖案,將紙打開后鋪平,得到的兩個圖案是關于折痕成軸對稱的圖形. 準備一張質地較軟,吸水性能好的紙或報紙,在紙的一側上滴上一滴墨水,將紙迅速對折,壓平,并且手指壓出清晰的折痕.再將紙打開后鋪平,位于折痕兩側的墨跡圖案也是對稱的. 這節課我們就是來作簡單平面圖形經過軸對稱后的圖形. Ⅱ.導入新課 由我們已經學過的知識知道,連結任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分. 類似地,我們也可以由一個圖形得到與它成軸對稱的另一個圖形,重復這個過程,可以得到美麗的圖案。對稱軸方向和位置發生變化時,得到的圖形的方向和位置也會發生變化.大家看大屏幕,從電腦演示的圖案變化中找出對稱軸的方向和位置,體會對稱軸方向和位置的變化在圖案設計中的奇妙用途. 下面,同學們自己動手在一張紙上畫一個圖形,將這張紙折疊描圖,再打開看看,得到了什么?改變折痕的位置并重復幾次,又得到了什么?同學們互相交流一下. 結論:由一個平面圖形呆以得到它關于一條直線L對稱的圖形,這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相同;
新圖形上的每一點,都是原圖形上的某一點關于直線L的對稱點;
連結任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分. 我們把上面由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換. 成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看作由另一個圖形經過軸對稱變換后得到.一個軸對稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎,經軸對稱變換擴展而成的. 取一張長30厘米,寬6厘米的紙條,將它每3厘米一段,一正一反像“手風琴”那樣折疊起來,并在折疊好的紙上畫上字母E,用小刀把畫出的字母E挖去,拉開“手風琴”,你就可以得到以字母E為圖案的花邊.回答下列問題. (1)在你所得的花邊中,相鄰兩個圖案有什么關系?相間的兩個圖案又有什么關系?說說你的理由. (2)如果以相鄰兩個圖案為一組,每一組圖案之間有什么關系?三個圖案為一組呢?為什么? (3)在上面的活動中,如果先將紙條縱向對折,再折成“手風琴”,然后繼續上面的步驟,此時會得到怎樣的花邊?它是軸對稱圖形嗎?先猜一猜,再做一做. 注:為了保證剪開后的紙條保持連結,畫出的圖案應與折疊線稍遠一些. (三)回顧本節課內容,然后小結. Ⅳ.課時小結 本節課我們主要學習了如何通過軸對稱變換來作出一個圖形的軸對稱圖形,并且利用軸對稱變換來設計一些美麗的圖案.在利用軸對稱變換設計圖案時,要注意運用對稱軸位置和方向的變化,使我們設計出更新疑獨特的美麗圖案. Ⅴ.動手并思考 (一)如下圖所示,取一張薄的正方形紙,沿對角線對折后,得到一個等腰直角三角形,再沿斜邊上的高線對折,將得到的角形沿黑色線剪開,去掉含90°角的部分,拆開折疊的紙,并將其鋪平. (1)你會得怎樣的圖案?先猜一猜,再做一做. (2)你能說明為什么會得到這樣的圖案嗎?應用學過的軸對稱的知識試一試. (3)如果將正方形紙按上面方式折3次,然后再沿圓弧剪開,去掉較小部分,展開后結果又會怎樣?為什么? (4)當紙對折2次后,剪出的圖案至少有幾條對稱軸?3次呢? 答案:(1)得到一個有2條對稱軸的圖形. (2)按照上面的做法,實際上相當于折出了正方形的2條對稱軸;
因此(1)中的圖案一定有2條對稱軸. (3)按題中的方式將正方形對折3次,相當于折出了正方形的4條對稱軸,因此得到的圖案一定有4條對稱軸. (4)當紙對折2次,剪出的圖案至少有2條對稱軸;
當紙對折3次,剪出的圖案至少有4條對稱軸. (二)自己設計并制作一個花邊. 作業:P45習題12.2第1、5題 板書設計 §12.2.1.1 作軸對稱圖形 一.如何由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形.二。

利用軸對稱設計圖案 12.2 .2 用坐標表示軸對稱 教學目標 1、在平面直角坐標系中,確定軸對稱變換前后兩個圖形中特殊點的位置關系,2、2、再利用軸對稱的性質作出成軸對稱的圖形 教學重點:用坐標表示軸對稱 教學難點:利用轉化的思想,確定能代表軸對稱圖形的關鍵點 教學過程:
一、復習軸對稱圖形的有關性質 二、新授:
1.學生探索:
點(x,y)關于x軸對稱的點的坐標(x,-y);
點(x,y)關于y軸對稱的點的坐標(-x,y);
點(x,y)關于原點對稱的點的坐標(-x,-y) 2.例3 四邊形ABCD的四個頂點的坐標分別為A(-5,1)、B(-2,1)、C(-2,5)、D(-5,4),分別作出與四邊形ABCD關于x軸和y軸對稱的圖形. (1)歸納:與已知點關于y 軸或x軸對稱的點的坐標的規律;

(2)學生畫圖 (3)對于這類問題,只要先求出已知圖形中的一些特殊點的對應點的坐標,描出并順次連接這些特殊點,就可以得到這個圖形的軸對稱圖形. 3、探究問題 分別作出△PQR關于直線x=1(記為m)和直線y=-1(記為n)對稱的圖形,你能發現它們的對應點的坐標之間分別有什么關系嗎? (1)學生畫圖,由具體的數據,發現它們的對應點的坐標之間的關系 (2)若△PQR中P(x,y)關于x=1(記為m)軸對稱的點的坐標P (x,y) , 則,y= y。

若△PQR中P(x,y)關于y=-1(記為n)軸對稱的點的坐標P (x,y) , 則x= x,=n. 三、練習:課本P44第1、2、3題 四、作業:課本P45第2、3、4、6題 §12.3.1.1 等腰三角形(一) 教學目標 1.等腰三角形的概念. 2.等腰三角形的性質. 3.等腰三角形的概念及性質的應用. 教學重點:
1.等腰三角形的概念及性質. 2.等腰三角形性質的應用. 教學難點:等腰三角形三線合一的性質的理解及其應用. 教學過程 Ⅰ.提出問題,創設情境 在前面的學習中,我們認識了軸對稱圖形,探究了軸對稱的性質,并且能夠作出一個簡單平面圖形關于某一直線的軸對稱圖形,還能夠通過軸對稱變換來設計一些美麗的圖案.這節課我們就是從軸對稱的角度來認識一些我們熟悉的幾何圖形.來研究:①三角形是軸對稱圖形嗎?②什么樣的三角形是軸對稱圖形? 有的三角形是軸對稱圖形,有的三角形不是. 問題:那什么樣的三角形是軸對稱圖形? 滿足軸對稱的條件的三角形就是軸對稱圖形,也就是將三角形沿某一條直線對折后兩部分能夠完全重合的就是軸對稱圖形. 我們這節課就來認識一種成軸對稱圖形的三角形──等腰三角形. Ⅱ.導入新課:
要求學生通過自己的思考來做一個等腰三角形. 作一條直線L,在L上取點A,在L外取點B,作出點B關于直線L的對稱點C,連結AB、BC、CA,則可得到一個等腰三角形. 等腰三角形的定義:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩邊叫做腰,另一邊叫做底邊,兩腰所夾的角叫做頂角,底邊與腰的夾角叫底角.同學們在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底邊、頂角和底角. 思考:
1.等腰三角形是軸對稱圖形嗎?請找出它的對稱軸. 2.等腰三角形的兩底角有什么關系? 3.頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎? 4.底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎?底邊上的高所在的直線呢? 結論:等腰三角形是軸對稱圖形.它的對稱軸是頂角的平分線所在的直線.因為等腰三角形的兩腰相等,所以把這兩條腰重合對折三角形便知:等腰三角形是軸對稱圖形,它的對稱軸是頂角的平分線所在的直線. 要求學生把自己做的等腰三角形進行折疊,找出它的對稱軸,并看它的兩個底角有什么關系. 沿等腰三角形的頂角的平分線對折,發現它兩旁的部分互相重合,由此可知這個等腰三角形的兩個底角相等,而且還可以知道頂角的平分線既是底邊上的中線,也是底邊上的高. 由此可以得到等腰三角形的性質:
1.等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”). 2.等腰三角形的頂角平分線,底邊上的中線、底邊上的高互相重合(通常稱作“三線合一”). 由上面折疊的過程獲得啟發,我們可以通過作出等腰三角形的對稱軸,得到兩個全等的三角形,從而利用三角形的全等來證明這些性質.同學們現在就動手來寫出這些證明過程). [例1]如圖,在△ABC中,AB=AC,點D在AC上,且BD=BC=AD, 求:△ABC各角的度數. 分析:根據等邊對等角的性質,我們可以得到 ∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC, 再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A. 再由三角形內角和為180°,就可求出△ABC的三個內角. 把∠A設為x的話,那么∠ABC、∠C都可以用x來表示,這樣過程就更簡捷. 解:因為AB=AC,BD=BC=AD, 所以∠ABC=∠C=∠BDC. ∠A=∠ABD(等邊對等角). 設∠A=x,則 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x, 從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 于是在△ABC中,有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°, 解得x=36°. 在△ABC中,∠A=35°,∠ABC=∠C=72°. [師]下面我們通過練習來鞏固這節課所學的知識. Ⅲ.隨堂練習:1.課本P51練習 1、2、3. 2.閱讀課本P49~P51,然后小結. Ⅳ.課時小結 這節課我們主要探討了等腰三角形的性質,并對性質作了簡單的應用.等腰三角形是軸對稱圖形,它的兩個底角相等(等邊對等角),等腰三角形的對稱軸是它頂角的平分線,并且它的頂角平分線既是底邊上的中線,又是底邊上的高. 我們通過這節課的學習,首先就是要理解并掌握這些性質,并且能夠靈活應用它們. Ⅴ.作業:
課本P56習題12.3第1、2、3、4題. 板書設計 12.3.1.1 等腰三角形 一、設計方案作出一個等腰三角形 二、等腰三角形性質:
1.等邊對等角 2.三線合一 §12.3.1.1 等腰三角形(二) 教學目標 1、理解并掌握等腰三角形的判定定理及推論 2、能利用其性質與判定證明線段或角的相等關系. 教學重點:等腰三角形的判定定理及推論的運用 教學難點:正確區分等腰三角形的判定與性質,能夠利用等腰三角形的判定定理證明線段的相等關系. 教學過程:
一、復習等腰三角形的性質 二、新授:
 I提出問題,創設情境 出示投影片.某地質專家為估測一條東西流向河流的寬度,選擇河流北岸上一棵樹(B點)為B標,然后在這棵樹的正南方(南岸A點抽一小旗作標志)沿南偏東60°方向走一段距離到C處時,測得∠ACB為30°,這時,地質專家測得AC的長度就可知河流寬度. 學生們很想知道,這樣估測河流寬度的根據是什么?帶著這個問題,引導學生學習“等腰三角形的判定”. II引入新課   1.由性質定理的題設和結論的變化,引出研究的內容——在△ABC中,苦∠B=∠C,則AB= AC嗎?    作一個兩個角相等的三角形,然后觀察兩等角所對的邊有什么關系?   2.引導學生根據圖形,寫出已知、求證.   2、小結,通過論證,這個命題是真命題,即“等腰三角形的判定定理”(板書定理名稱).   強調此定理是在一個三角形中把角的相等關系轉化成邊的相等關系的重要依據,類似于性質定理可簡稱“等角對等邊”.   4.引導學生說出引例中地質專家的測量方法的根據.  III例題與練習   1.如圖2   其中△ABC是等腰三角形的是 [ ]   2.①如圖3,已知△ABC中,AB=AC.∠A=36°,則∠C______(根據什么?).   ②如圖4,已知△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,△ABC是______三角形(根據什么?).   ③若已知∠A=36°,∠C=72°,BD平分∠ABC交AC于D,判斷圖5中等腰三角形有______.   ④若已知 AD=4cm,則BC______cm.   3.以問題形式引出推論l______.   4.以問題形式引出推論2______. 例:
如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊,求證這個三角形是等腰三角形.   分析:引導學生根據題意作出圖形,寫出已知、求證,并分析證明. 練習:5.(l)如圖6,在△ABC中,AB=AC,∠ABC、∠ACB的平分線相交于點F,過F作DE//BC,交AB于點D,交AC于E.問圖中哪些三角形是等腰三角形? (2)上題中,若去掉條件AB=AC,其他條件不變,圖6中還有等腰三角形嗎? 練習:P53練習1、2、3。

 IV課堂小結   1.判定一個三角形是等腰三角形有幾種方法?   2.判定一個三角形是等邊三角形有幾種方法?   3.等腰三角形的性質定理與判定定理有何關系?   4.現在證明線段相等問題,一般應從幾方面考慮? V布置作業:P56頁習題12.3第5、6題 12.3.2 等邊三角形(一) 教學目的 1、使學生熟練地運用等腰三角形的性質求等腰三角形內角的角度。

2、熟識等邊三角形的性質及判定. 教學重點:等腰三角形的性質及其應用。

教學難點:簡潔的邏輯推理。

教學過程 一、復習鞏固 1.敘述等腰三角形的性質,它是怎么得到的? 等腰三角形的兩個底角相等,也可以簡稱“等邊對等角”。把等腰三角形對折,折疊兩部分是互相重合的,即AB與AC重合,點B與點 C重合,線段BD與CD也重合,所以∠B=∠C。

等腰三角形的頂角平分線,底邊上的中線和底邊上的高線互相重合,簡稱“三線合一”。由于AD為等腰三角形的對稱軸,所以BD= CD,AD為底邊上的中線;
∠BAD=∠CAD,AD為頂角平分線,∠ADB=∠ADC=90°,AD又為底邊上的高,因此“三線合一”。

2.若等腰三角形的兩邊長為3和4,則其周長為多少? 二、新課 在等腰三角形中,有一種特殊的情況,就是底邊與腰相等,這時,三角形三邊都相等。我們把三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。

等邊三角形具有什么性質呢? 1.請同學們畫一個等邊三角形,用量角器量出各個內角的度數,并提出猜想。

2.你能否用已知的知識,通過推理得到你的猜想是正確的? 等邊三角形是特殊的等腰三角形,由等腰三角形等邊對等角的性質得到∠A=∠B=C,又由∠A+∠B+∠C=180°,從而推出∠A=∠B=∠C=60°。

3.上面的條件和結論如何敘述? 等邊三角形的各角都相等,并且每一個角都等于60°。

等邊三角形是軸對稱圖形嗎?如果是,有幾條對稱軸? 等邊三角形也稱為正三角形。

例1.在△ABC中,AB=AC,D是BC邊上的中點,∠B=30°,求∠1和∠ADC的度數。

分析:由AB=AC,D為BC的中點,可知AB為 BC底邊上的中線,由“三線合一”可知AD是△ABC的頂角平分線,底邊上的高,從而∠ADC=90°,∠l=∠BAC,由于∠C=∠B=30°,∠BAC可求,所以∠1可求。

問題1:本題若將D是BC邊上的中點這一條件改為AD為等腰三角形頂角平分線或底邊BC上的高線,其它條件不變,計算的結果是否一樣? 問題2:求∠1是否還有其它方法? 三、練習鞏固 1.判斷下列命題,對的打“√”,錯的打“×”。

a.等腰三角形的角平分線,中線和高互相重合( ) b.有一個角是60°的等腰三角形,其它兩個內角也為60°( ) 2.如圖(2),在△ABC中,已知AB=AC,AD為∠BAC的平分線,且∠2=25°,求∠ADB和∠B的度數。

3.P54練習1、2。

四、小結 由等腰三角形的性質可以推出等邊三角形的各角相等,且都為60°。“三線合一”性質在實際應用中,只要推出其中一個結論成立,其他兩個結論一樣成立,所以關鍵是尋找其中一個結論成立的條件。

五、作業:
1.課本P57第7,9題。

2、補充:如圖(3),△ABC是等邊三角形,BD、CE是中線,求∠CBD,∠BOE,∠BOC,∠EOD的度數。

§12.3.2 等邊三角形(二) 教學目標 1.掌握等邊三角形的性質和判定方法. 2.培養分析問題、解決問題的能力. 教學重點:等邊三角形的性質和判定方法. 教學難點:等邊三角形性質的應用 教學過程 I創設情境,提出問題 回顧上節課講過的等邊三角形的有關知識 1.等邊三角形是軸對稱圖形,它有三條對稱軸. 2.等邊三角形每一個角相等,都等于60° 3.三個角都相等的三角形是等邊三角形. 4.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形. 其中1、2是等邊三角形的性質;
3、4的等邊三角形的判斷方法. II例題與練習 1.△ABC是等邊三角形,以下三種方法分別得到的△ADE都是等邊三角形嗎,為什么? ①在邊AB、AC上分別截取AD=AE. ②作∠ADE=60°,D、E分別在邊AB、AC上. ③過邊AB上D點作DE∥BC,交邊AC于E點. 2. 已知:如右圖,P、Q是△ABC的邊BC上的兩點,,并且PB=PQ=QC=AP=AQ.求∠BAC的大小. 分析:由已知顯然可知三角形APQ是等邊三角形,每個角都是60°.又知△APB與△AQC都是等腰三角形,兩底角相等,由三角形外角性質即可推得∠PAB=30°. 1. P56頁練習1、2 III課堂小結:1.等腰三角形和性質;
等腰三角形的條件 V布置作業:
1.P58頁習題12.3第ll題. 2.已知等邊△ABC,求平面內一點P,滿足A,B,C,P四點中的任意三點連線都構成等腰三角形.這樣的點有多少個? §12.3.2 等邊三角形(三) 教學過程 一、 復習等腰三角形的判定與性質 二、 新授:
1.等邊三角形的性質:三邊相等;
三角都是60°;
三邊上的中線、高、角平分線相等 2.等邊三角形的判定:
三個角都相等的三角形是等邊三角形;
有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形;

在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半 注意:推論1是判定一個三角形為等邊三角形的一個重要方法.推論2說明在等腰三角形中,只要有一個角是600,不論這個角是頂角還是底角,就可以判定這個三角形是等邊三角形。推論3反映的是直角三角形中邊與角之間的關系. 3.由學生解答課本148頁的例子;

4.補充:已知如圖所示, 在△ABC中, BD是AC邊上的中線, DB⊥BC于B, ∠ABC=120o, 求證: AB=2BC 分析 由已知條件可得∠ABD=30o, 如能構造有一個銳角是30o的直角三角形, 斜邊是AB,30o角所對的邊是與BC相等的線段,問題就得到解決了. B 5、訓練:如圖所示,在等邊△ABC的邊的延長線上取一點E,以CE為邊作等邊△CDE,使它與△ABC位于直線AE的同一側,點M為線段AD的中點,點N為線段BE的中點,求證:△CNM是等邊三角形. 分析 由已知易證明△ADC≌△BEC,得BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M、N分別為BE、AD的中點,于是有BN=AM,要證明△CNM是等邊三角形,只須證MC=CN,∠MCN=60o,所以要證△NBC≌△MAC,由上述已推出的結論,根據邊角邊公里,可證得△NBC≌△MAC 解題小結 1.本題通過將分析法和綜合法并用進行分析,得到了本題的證題思路,較復雜的幾何問題經常用這種方法進行分析 2.本題反復利用等邊三角形的性質,證得了兩對三角形全等,從而證得△MCN是一個含60o角的等腰三角形,在較復雜的圖形中,如何準確地找到所需要的全等三角形是證題的關鍵. 三、小結本節知識 四、作業:課本P58頁第13,14題 第 十 三 章 實 數 §13.1平方根 教學目標:
1、了解數的算術平方根及平方根的概念,并會用符號表示;

2、理解平方與開方之間是互為逆運算的關系,會用計算器求一些正數的算術平方根 教學重點:了解數的算術平方根及平方根的概念,會求某些非負數的平方根,會用根號表示一個數的平方根 教學難點:對大小的估算及如何理解是非負數以及被開方數是非負數;
正確區分算術平方根與平方根 第1課時 一、創設情景,導入新課 請同學們欣賞本節導圖,并回答問題,學校要舉行金秋美術作品比賽,小歐很高興,他想裁出一塊面積為25的正方形畫布,畫上自己的得意之作參加比賽,這塊正方形畫布的邊長應取多少?如果這塊畫布的面積是? 這個問題實際上是已知一個正數的平方,求這個正數的問題(引入新課) 二、合作交流,解讀探究 討論:1、什么樣的運算是平方運算? 2、你還記得1~20之間整數的平方嗎? 自主探索:讓學生獨立看書,自學教材 總結:一般地,如果一個正數的平方為,即,那么正數叫做的算術平方根,記為,讀作根號,其中叫做被開方數。

另外:0的算術平方根是0 探究:怎樣用兩個面積為1的正方形拼成一個面積為2的大正方形 把兩個小正方形沿對角剪開,將所得的四個直角形拼在一起,就的到一個面積為2的大正方形。

設大正方形的邊長為,則;

由算術平方根的意義, 即大正方形的邊長為。

討論:有多大呢? 思考:你能舉些象這樣的無限不循環小數嗎? 三、應用遷移,鞏固提高 例1 求下列各數的算術平方根 ⑴100 ⑵ ⑶0.0001 ⑷0 ⑸ 點撥:由一個數的算術平方根的定義出發來解決問題 思考:-4有算術平方根嗎? 備選例題:要使代數式有意義,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 四、總結反思,拓展升華 小結:1、算術平方根的定義和性質;

2、用計算器求一個正數的算術平方根 拓展:已知的算術平方根是3,的算術平方根是4,是的整數部分,求的算術平方根 五、課堂跟蹤反饋 1、 非負數的算術平方根表示為___,225的算術平方根是____,0的算術平方根是____ 2、 3、 的算術平方根是_____, 的算術平方根____ 4、 若是49的算術平方根,則=( ) A. 7 B. -7 C. 49 D.-49 5、 若,則的算術平方根是( ) A. 49 B. 53 C.7 D . 6、 若,求的值。

7、 若是的整數部分,是的小數部分,試確定、的值。

8、 一個自然數的算術平方根為,那么與這個自然數相鄰的下一個自然數的算術平方根是_______ 第2課時 一、創設情景,導入新課 復習提問:1、什么數的平方是49? 2、平方得81的數有幾個?分別是什么? 3、一對互為相反數的平方有什么關系? 交流總結:由問題出發,認識到平方得一個正數的數有2個,并且互為相反數(引入新課) 二、合作交流,解讀探究 自主探索:獨立看書,自學教材 想一想:到底什么是平方根,它和我們已經認識的算術平方根有何關系? ⑴什么叫一個數的平方根?如何用符號表示? ⑵根據平方根的定義,只有什么數才有平方根? ⑶什么叫開方? [⑴如果一個數的平方等于,那么這個數叫做的平方根或二次方根,用符號表示為:若;
⑵只有非負數才有平方根;
⑶求一個數的平方根的運算叫做開平方運算。] 練一練:求下列數的平方根 ⑴100 ⑵ ⑶0.25 ⑷ ⑸ 0 總結歸納:
1、 正數有兩個平方根,它們互為相反數;

2、0的平方根是0;

3、負數沒有平方根 討論:平方根與算術平方根之間有什么關系? 總結:1、平方根與算術平方根之間的區別 ⑴定義不同:如果,那么叫做的平方根。一個正數有兩個平方根,它們互為相反數;
0有一個平方根,是0本身;
負數沒有平方根。

如果,并且,那么叫做的算術平方根。一個正數的算術平方根只有一個,非負數的算術平方根一定是非負數 ⑵表示方法不同:正數的平方根表示為;
正數的算術平方根為 ⑶平方根等于本身的數是0;
算術平方根等于本身的數是0或1 2、平方根與算術平方根之間的聯系 ⑴二者有著包含關系:平方根中包含算術平方根,算術平方根是平方根中的非負的那一個 ⑵存在條件相同,非負數才有平方根和算術平方根 ⑶0的平方根和0的算術平方根都是0 三、應用遷移,鞏固提高 例1 說出下列各數的平方根:
⑴0.04 ⑵ ⑶ ⑷ 例2 說出下列各數的平方根各是什么? ⑴64 ⑵0 ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 點評:要從根本之處理解一個數的平方根的運算,從平方根的概念入手,同時要知道,只有非負數才有平方根 例3 計算 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 四、總結反思,拓展升華 小結 1、平方根的定義及符號表示;
2、平方根與算術平方根的關系 拓展 已知,求:的平方根 五、課堂跟蹤反饋 1、 判斷下列說法是否正確 ⑴5是25的算術平方根 ( );

⑵是的一個平方根 ( ) ⑶的平方根是-4 ( );

⑷ 0的平方根與算術平方根都是0 ( ) 2、⑴⑵⑶⑷ 3、若,則,的平方根是 4、的平方根是( ) A. B. C. D. 5、給出下列各數:
,其中有平方根的數共有( ) A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個 6、若一個數的平方根等于它本身,數的算術平方根也等于它本身,試求的平方根。

7、求下列各數中的值 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 9、 若,求、的值 10、如果一個正數的兩個平方根為和,請你求出這個正數 §13.2 立方根 教學目標:了解立方根的概念,會用符號表示一個數的立方根 教學重點:了解立方根的概念,用立方運算求某些數的立方根;
,會用計算器求某些數的立方根 教學難點:明確平方根與立方根的區別,能熟練地求某些數的立方根 一、創設情景,導入新課 出示一個正方體紙盒,提出問題,如果這個正方體的體積為216 ,那么它每條棱長是多少? 二、合作交流,解讀探究 觀察 由以上問題,有,即要求一個數,使它的立方等于216,通過分析,有,那么6就是這個正方體的棱長 歸納 如果一個數的立方等于,這個數叫做的立方根(也叫做三次方根),即如果,那么叫做的立方根 探究 根據立方根的意義填空,看看正數、0、負數的立方根各有什么特點? 因為,所以8的立方根是( 2 ) 因為,所以0.125的立方根是( ) 因為,所以8的立方根是( 0 ) 因為,所以8的立方根是( ) 一個正數有一個正的立方根 0有一個立方根,是它本身 一個負數有一個負的立方根 任何數都有唯一的立方根 因為,所以8的立方根是( ) 【總結歸納】 【類比思考】 平方根的表示我們已經很清楚了,那么立方根又該如何表示呢? 【探究說明】 一個數的立方根,記作,讀作:“三次根號”,其中叫被開方數,3叫根指數,不能省略,若省略表示平方。例如:表示27的立方根,;
表示的立方根, 【探究】因為所以 = 因為,所以 = 例:求-5的立方根(保留三個有效數字) → 被開方數 → = → 1.709975947 所以 三、應用遷移,鞏固提高 例1 求下列各數的立方根 ⑴ -8 ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 例2 計算 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 例3 張叔叔有棱長為的兩個正方體紙箱中裝滿了大米,他將這兩箱大米都倒入了另一個新的正方體木箱中,結果正好裝滿,那么這個新的正方體木箱的棱長大約是多少?(結果精確到) 例4 解方程:
⑴ ⑵ 備選例題 的自變量的取值范圍是( ) A. 且 B. C. 且 D.全體實數 四、總結反思,拓展升華 小結 1、立方根的概念和性質;

2、立方根與平方根的異同比較 五、課堂跟蹤反饋 1、 當? ≥0 時,有意義;
當 為一切實數 時,有意義 2、 的立方根是 -2 ,的平方根是 ±2 ,的立方根是 -2 3、 -8的立方根與的一個平方根的和等于 1或-5 4、 一個自然數的算術平方根是,那么與這個自然數相鄰的下一個自然數的平方根是 ,立方根是 5、 解下列方程 ⑴ ⑵ ⑶ 6、已知,且,求的值 §13.3實數 教學目標:了解無理數和實數的概念,知道實數和數軸上的點一一對應,能估算無理數的大小;
了解實數的運算法則及運算律,會進行實數的運算,會用計算器進行實數的運算 教學重點:實數的意義和實數的分類;
實數的運算法則及運算律 教學難點:體會數軸上的點與實數是一一對應的;
準確地進行實數范圍內的運算 第1課時 一、創設情景,導入新課 (略) 二、合作交流,解讀探究 探究 使用計算器計算,把下列有理數寫成小數的形式,你有什么發現? 3 , , , , , 我們發現,上面的有理數都可以寫成有限小數或者無限循環小數的形式,即 , , , , , 歸納 任何一個有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式。反過來,任何有限小數或無限循環小數也都是有理數 觀察 通過前面的探討和學習,我們知道,很多數的平方根和立方根都是無限不循環小數,無限不循環小數又叫無理數,也是無理數 結論 有理數和無理數統稱為實數 試一試 把實數分類 像有理數一樣,無理數也有正負之分。例如,,是正無理數,,,是負無理數。由于非0有理數和無理數都有正負之分,所以實數也可以這樣分類:
我們知道,每個有理數都可以用數軸上的點來表示。無理數是否也可以用數軸上的點來表示呢? 探究 如圖所示,直徑為1個單位長度的圓從原點沿數軸向右滾動一周,圓上的一點由原點到達點O′,點O′的坐標是多少? 總結 1、事實上,每一個無理數都可以用數軸上的一個點表示出來,這就是說,數軸上的點有些表示有理數,有些表示無理數 當從有理數擴充到實數以后,實數與數軸上的點就是一一對應的,即每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示;
反過來,數軸上的每一個點都是表示一個實數 2、 與有理數一樣,對于數軸上的任意兩個點,右邊的點所表示的實數總比左邊的點表示 的實數大 討論 當數從有理數擴充到實數以后,有理數關于相反數和絕對值的意義同樣適合于實數嗎? 總結 數的相反數是,這里表示任意一個實數。一個正實數的絕對值是本身;
一個負實數的絕對值是它的相反數;
0的絕對值是0 三、應用遷移,鞏固提高 例1 把下列各數分別填入相應的集合里:
四、總結反思,拓展升華 小結 1、什么叫做無理數? 2、什么叫做有理數? 3、 有理數和數軸上的點一一對應嗎? 4、 無理數和數軸上的點一一對應嗎? 5、 實數和數軸上的點一一對應嗎? 五、課堂跟蹤反饋 1、下列各數中,是無理數的是( ) A. B. C. D. 2、已知四個命題,正確的有( ) ⑴有理數與無理數之和是無理數 ⑵有理數與無理數之積是無理數 ⑶無理數與無理數之積是無理數 ⑷無理數與無理數之積是無理數 A. 1個 B. 2個 C. 3個 D.4個 3、下列說法正確的有( ) ⑴不存在絕對值最小的無理數;
⑵不存在絕對值最小的實數;
⑶不存在與本身的算術平方根相等的數;
⑷比正實數小的數都是負實數;
⑸非負實數中最小的數是0 A. 2個 B. 3個 C. 4個 D.5個 4、⑴的相反數是 ,絕對值是 ;

⑵ ⑶ 1 ;

⑷若,則 (5)是實數,則 2 5、已知實數、、在數軸上的位置如圖所示:
O 化簡 (答案:) 第2課時 一、創設情景,導入新課 復習導入:1、用字母來表示有理數的乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律 2、用字母表示有理數的加法交換律和結合律 3、平方差公式、完全平方公式 4、有理數的混合運算順序 二、合作交流,解讀探究 自主探索 獨立閱讀,自習教材 總結 當數從有理數擴充到實數以后,實數之間不僅可以進行加、減、乘、除(除數不為0)、乘方運算,而且正數及0可以進行開方運算,任意一個實數可以進行開立方運算。在進行實數的運算時,有理數的運算法則及運算性質等同樣適用。

討論 下列各式錯在哪里? 1、 2、 3、 4、當時, 【練一練】計算下列各式的值:
解:錯誤!未找到引用源。

錯誤!未找到引用源。

⑴ ⑵ 總結 實數范圍內的運算方法及運算順序與在有理數范圍內都是一樣的 試一試 計算:
(精確到0.01) · (結果保留3個有效數字) 總結 在實數運算中,當遇到無理數并且需要求出結果的近似值時,可以按照所要求的精確度用相應的近似有限小數去代替無理數,再進行計算 【練一練】計算 ⑴⑵⑶⑷ 提示 ⑴式的結構是平方差的形式 ⑶式的結構是完全平方的形式 總結 在實數范圍內,乘法公式仍然適用 三、應用遷移,鞏固提高 例1 為何值時,下列各式有意義? 例2 計算 ⑴求5的算術平方根于的平方根之和(保留3位有效數字) ⑵(精確到0.01) ⑶ ()(精確到0.01) O 例3 已知實數在數軸上的位置如下,化簡 例4 計算 四、總結反思,拓展升華 總結 1、實數的運算法則及運算律。

2、實數的相反數和絕對值的意義 五、課堂跟蹤反饋 1、是實數,下列命題正確的是( ) A. ,則 B. 若,則 C. 若,則 D. 若,則 2、如果成立,那么實數的取值范圍是( ) A. B. C. D. 3、的相反數是 , 的相反數是 4、當時, , 5、已知、、在數軸上如圖,化簡 O 課題:11.1.1變量 知識目標:理解變量與函數的概念以及相互之間的關系 能力目標:增強對變量的理解 情感目標:滲透事物是運動的,運動是有規律的辨證思想 重點:變量與常量 難點:對變量的判斷 教學媒體:多媒體電腦,繩圈 教學說明:本節滲透找變量之間的簡單關系,試列簡單關系式 教學設計:
引入:
信息1:當你坐在摩天輪上時,想一想,隨著時間的變化,你離開地面的高度是如何變化的? 信息2:汽車以60km/h的速度勻速前進,行駛里程為skm,行駛的時間為th,先填寫下面的表格,在試用含t的式子表示s. t/m 1 2 3 4 5 s/km 新課:
問題:(1)每張電影票的售價為10元,如果早場售出票150張,日場售出票205張,晚場售出票310張,三場電影的票房收入各多少元?設一場電影受出票x張,票房收入為y元,怎樣用含x的式子表示y? (2)在一根彈簧的下端懸掛中重物,改變并記錄重物的質量,觀察并記錄彈簧長度的變化規律,如果彈簧原長10cm,每1kg重物使彈簧伸長0.5cm,怎樣用含重物質量 m(單位:kg)的式子表示受力后彈簧長度l(單位:cm)? (3)要畫一個面積為10cm2的圓,圓的半徑應取多少?圓的面積為20cm2呢?怎樣用含圓面積S的式子表示圓的半徑r? (4)用10m長的繩子圍成長方形,試改變長方形的長度,觀察長方形的面積怎樣變化。記錄不同的長方形的長度值,計算相應的長方形面積的值,探索它們的變化規律,設長方形的長為xm,面積為Sm2,怎樣用含x的式子表示S? 在一個變化過程中,我們稱數值發生變化的量為變量(variable).數值始終不變的量為常量。

指出上述問題中的變量和常量。

范例:寫出下列各問題中所滿足的關系式,并指出各個關系式中,哪些量是變量,哪些量是常量? (1) 用總長為60m的籬笆圍成矩形場地,求矩形的面積S(m2)與一邊長x(m)之間的關系式;

(2) 購買單價是0.4元的鉛筆,總金額y(元)與購買的鉛筆的數量n(支)的關系;

(3) 運動員在4000m一圈的跑道上訓練,他跑一圈所用的時間t(s)與跑步的速度v(m/s)的關系;

(4) 銀行規定:五年期存款的年利率為2.79%,則某人存入x元本金與所得的本息和y(元)之間的關系。

活動:1.分別指出下列各式中的常量與變量. (1) 圓的面積公式S=πr2; (2) 正方形的l=4a; (3) 大米的單價為2.50元/千克,則購買的大米的數量x(kg)與金額與金額y的關系為y=2.5x. 2.寫出下列問題的關系式,并指出不、常量和變量. (1) 某種活期儲蓄的月利率為0.16%,存入10000元本金,按國家規定,取款時,應繳納利息部分的20%的利息稅,求這種活期儲蓄扣除利息稅后實得的本息和y(元)與所存月數x之間的關系式. (2) 如圖,每個圖中是由若干個盆花組成的圖案,每條邊(包括兩個頂點)有n盆花,每個圖案的花盆總數是S,求S與n之間的關系式. 思考:怎樣列變量之間的關系式? 小結:變量與常量 作業:閱讀教材5頁,11.1.2函數 課題:11.1.2函數 知識目標:理解函數的概念,能準確識別出函數關系中的自變量和函數 能力目標:會用變化的量描述事物 情感目標:回用運動的觀點觀察事物,分析事物 重點:函數的概念 難點:函數的概念 教學媒體:多媒體電腦,計算器 教學說明:注意區分函數與非函數的關系,學會確定自變量的取值范圍 教學設計:
引入:
信息1:小明在14歲生日時,看到他爸爸為他記錄的以前各年周歲時體重數值表,你能看出小明各周歲時體重是如何變化的嗎? 周歲 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 體重(kg) 9.3 11.8 13.5 15.4 16.7 18.0 19.6 21.5 23.2 25 27.6 30.2 32.5 信息2:當你坐在摩天輪上時,隨著旋轉時間t(min)與你離開地面的高度h(m)之間的關系如圖,你能填寫下表嗎? 時間/min 0 1 2 3 4 5 高度/m 新課:
問題:(1)如圖是某日的氣溫變化圖。

① 這張圖告訴我們哪些信息? ② 這張圖是怎樣來展示這天各時刻的溫度和刻畫這鐵的氣溫變化規律的? (2)收音機上的刻度盤的波長和頻率分別是用米(m)和赫茲(KHz)為單位標刻的,下表中是一些對應的數:
波長l(m) 300 500 600 1000 1500 頻率f(KHz) 1000 600 500 300 200 ① 這表告訴我們哪些信息? ② 這張表是怎樣刻畫波長和頻率之間的變化規律的,你能用一個表達式表示出來嗎? 一般的,在一個變化過程中,如果有兩個變量x和y,并且對于x的每一個確定的值,y都有惟一確定的值與其對應,那么我們就說x是自變量,y是x的函數。如果當x=a時,y=b,那么b叫做當自變量的值為a時的函數值。

范例:例1 判斷下列變量之間是不是函數關系:
(5) 長方形的寬一定時,其長與面積;

(6) 等腰三角形的底邊長與面積;

(7) 某人的年齡與身高;

活動1:閱讀教材7頁觀察1. 后完成教材8頁探究,利用計算器發現變量和函數的關系 思考:自變量是否可以任意取值 例2 一輛汽車的油箱中現有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(單位:L)隨行駛里程x(單位:km)的增加而減少,平均耗油量為0.1L/km。

(1) 寫出表示y與x的函數關系式. (2) 指出自變量x的取值范圍. (3) 汽車行駛200km時,油箱中還有多少汽油? 解:(1)y=50-0.1x (2)0≤x≤500 (3)x=200,y=30 活動2:練習教材9頁練習 小結:(1)函數概念 (2)自變量,函數值 (3)自變量的取值范圍確定 作業:18頁:2,3,4題 課題:11.1.3函數圖象(一) 知識目標:學會用圖表描述變量的變化規律,會準確地畫出函數圖象 能力目標:結合函數圖象,能體會出函數的變化情況 情感目標:增強動手意識和合作精神 重點:函數的圖象 難點:函數圖象的畫法 教學媒體:多媒體電腦,直尺 教學說明:在畫圖象中體會函數的規律 教學設計:
引入:
信息1:下圖是一張心電圖, 信息2:下圖是自動測溫儀記錄的圖象,他反映了北京的春季某天氣溫T如何隨時間的變化二變化,你從圖象中得到了什么信息? 新課:
問題:正方形的邊長x與面積S的函數關系為S=x2, 你能想到更直觀地表示S與x 的關系的方法嗎? 一般地,對于一個函數,如果把自變量與函數的每對對應訶子分別作為點的橫、縱坐標,那么坐標平面內由這些點組成的圖形,就是這個函數的圖象(graph)。

范例:例1 下面的圖象反映的過程是小明從家去菜地澆水,有去玉米地鋤草,然后回家.其中x表示時間,y表示小名離家的距離. 根據圖象回答問題:
(8) 菜地離小明家多遠?小明走到菜地用了多少時間?;

(9) 小明給菜地澆水用了多少時間? (10) 菜地離玉米地多遠?小明從菜地到玉米地用了多少時間? (11) 小明給玉米鋤草用了多少時間? (12) 玉米地離小名家多遠?小明從玉米地走回家的平均速度是多少? 例2 在下列式子中,對于x的每一確定的值,y有唯一的對應值,即y是x的函數,畫出這些函數的圖象:
(1)y=x+0.5; (2)y= (x>0) 解:
活動1:
教材16頁練習1,2題 思考:畫函數圖象的一般步驟是什么? 小結:(1)什么是函數圖象 (2)畫函數圖象的一般步驟 作業:19:5,7題 課題:11.1.3函數圖象(二) 知識目標:學會函數不同表示方法的轉化,會由函數圖象提取信息 能力目標:正確識別函數圖象 情感目標:激發學生的探索精神 重點:利用函數圖象解決問題 難點:從函數圖象中提取信息 教學媒體:多媒體電腦,直尺 教學說明:在畫圖象中找函數的規律 教學設計:
引入:
信息1:
信息2:
新課:
函數的表示方法為列表法、解析式法和圖形法,這三種方法在解決問題時是可以相互轉化的。

范例:例1 一水庫的水位在最近5消耗司內持續上漲,下表記錄了這5個小時水位高度. (1) 由記錄表推出這5個小時中水位高度y(單位米)隨時間t (單位:時)變化的函數解析式,并畫出函數圖象;

(2) 據估計這種上漲的情況還會持續2個小時,預測再過2個小時水位高度將達到多少米? 解:(1)y=0.05t+10 (0≤t≤7) (2)當t=5+2=7時,y=0.05t+10=10.35 預計2小時后水位將達到10.35米。

思考:函數圖象上的點的坐標與其解析式之間的關系? 例2 已知函數y=2x-3,求:
(1)函數圖象與x軸、y軸的交點坐標;

(2)x取什么值時,函數值大于1;

(3)若該函數圖象和函數y=-x+k相交于x軸上一點,試求k的值. 活動2:在同一直角坐標系中,畫出函數y=-x與函數y=2x-1的圖象,并求出它們的交點坐標. 練習:教材18頁:練習1,2題 小結:(1)函數的三種表示方法;

(2)函數圖象上點的坐標與函數關系式之間的關系;

作業:20頁8,9,10題 11.2.1 正比例函數 教學目標 (一)教學知識點 1.認識正比例函數的意義. 2.掌握正比例函數解析式特點. 3.理解正比例函數圖象性質及特點. 4.能利用所學知識解決相關實際問題. 教學重點 1.理解正比例函數意義及解析式特點. 2.掌握正比例函數圖象的性質特點. 3.能根據要求完成轉化,解決問題. 教學難點 正比例函數圖象性質特點的掌握. 課時安排:兩個課時 教學過程 Ⅰ.提出問題,創設情境 一九九六年,鳥類研究者在芬蘭給一只燕鷗??鳥)套上標志環.4個月零1周后人們在2.56萬千米外的澳大利亞發現了它. 1.這只百余克重的小鳥大約平均每天飛行多少千米(精確到10千米)? 2.這只燕鷗的行程y(千米)與飛行時間x(天)之間有什么關系? 3.這只燕鷗飛行1個半月的行程大約是多少千米? 我們來共同分析:
一個月按30天計算,這只燕鷗平均每天飛行的路程不少于:
25600÷(30×4+7)≈200(km) 若設這只燕鷗每天飛行的路程為200km,那么它的行程y(千米)就是飛行時間x(天)的函數.函數解析式為:
y=200x(0≤x≤127) 這只燕鷗飛行1個半月的行程,大約是x=45時函數y=200x的值.即 y=200×45=9000(km) 以上我們用y=200x對燕鷗在4個月零1周的飛行路程問題進行了刻畫.盡管這只是近似的,但它可以作為反映燕鷗的行程與時間的對應規律的一個模型. 類似于y=200x這種形式的函數在現實世界中還有很多.它們都具備什么樣的特征呢?我們這節課就來學習. Ⅱ.導入新課 首先我們來思考這樣一些問題,看看變量之間的對應規律可用怎樣的函數來表示?這些函數有什么共同特點? 1.圓的周長L隨半徑r的大小變化而變化. 2.鐵的密度為7.8g/cm3.鐵塊的質量m(g)隨它的體積V(cm3)的大小變化而變化. 3.每個練習本的厚度為0.5cm.一些練習本摞在一些的總厚度h(cm)隨這些練習本的本數n的變化而變化. 4.冷凍一個0℃的物體,使它每分鐘下降2℃.物體的溫度T(℃)隨冷凍時間t(分)的變化而變化. 解:1.根據圓的周長公式可得:L=2r. 2.依據密度公式p=可得:m=7.8V. 3.據題意可知:
h=0.5n. 4.據題意可知:T=-2t. 我們觀察這些函數關系式,不難發現這些函數都是常數與自變量乘積的形式,和y=200x的形式一樣.    一般地,形如y=kx(k是常數,k≠0)的函數,叫做正比例函數(proportional func-tion),其中k叫做比例系數. 我們現在已經知道了正比例函數關系式的特點,那么它的圖象有什么特征呢? [活動一] 活動內容設計:
畫出下列正比例函數的圖象,并進行比較,尋找兩個函數圖象的相同點與不同點,考慮兩個函數的變化規律. 1.y=2x 2.y=-2x 活動過程與結論:
1.函數y=2x中自變量x可以是任意實數.列表表示幾組對應值:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -6 -4 -2 0 2 4 6 畫出圖象如圖(1). 2.y=-2x的自變量取值范圍可以是全體實數,列表表示幾組對應值:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 -2 -4 -6 畫出圖象如圖(2). 3.兩個圖象的共同點:都是經過原點的直線. 不同點:函數y=2x的圖象從左向右呈上升狀態,即隨著x的增大y也增大;
經過第一、三象限.函數y=-2x的圖象從左向右呈下降狀態,即隨x增大y反而減小;
經過第二、四象限. 嘗試練習:
在同一坐標系中,畫出下列函數的圖象,并對它們進行比較. 1.y=x 2.y=-x x -6 -4 -2 0 2 4 6 y=x -3 -2 -1 0 1 2 3 Y=-x 3 2 1 0 -1 -2 -3 比較兩個函數圖象可以看出:兩個圖象都是經過原點的直線.函數y=x的圖象從左向右上升,經過三、一象限,即隨x增大y也增大;
函數y=- x的圖象從左向右下降,經過二、四象限,即隨x增大y反而減小. 總結歸納正比例函數解析式與圖象特征之間的規律:
正比例函數y=kx(k是常數,k≠0)的圖象是一條經過原點的直線.當x>0時,圖象經過三、一象限,從左向右上升,即隨x的增大y也增大;
當k<0時,圖象經過二、四象限,從左向右下降,即隨x增大y反而減小. 正是由于正比例函數y=kx(k是常數,k≠0)的圖象是一條直線,我們可以稱它為直線y=kx. [活動二] 活動內容設計:
經過原點與點(1,k)的直線是哪個函數的圖象?畫正比例函數的圖象時,怎樣畫最簡單?為什么? 活動過程及結論:
經過原點與點(1,k)的直線是函數y=kx的圖象. 畫正比例函數圖象時,只需在原點外再確定一個點,即找出一組滿足函數關系式的對應數值即可,如(1,k).因為兩點可以確定一條直線. Ⅲ.隨堂練習 用你認為最簡單的方法畫出下列函數圖象:
1.y=x 2.y=-3x 解:除原點外,分別找出適合兩個函數關系式的一個點來:
1.y= x (2,3) 2.y=-3x (1,-3) 小結:
本節課我們通過實例了解了正比例函數解析式的形式及圖象的特征,并掌握圖象特征與關系式的聯系規律,經過思考、嘗試,知道了正比例函數不同表現形式的轉化方法,及圖象的簡單畫法,為以后學習一次函數奠定了基礎. 課后作業 習題11.2─1、2題. Ⅵ.活動與探究 某函數具有下面的性質:
1.它的圖象是經過原點的一條直線. 2.y隨x增大反而減小. 請你舉出一個滿足上述條件的函數,寫出解析式,畫出圖象. 解:函數解析式:y=-0.5x x 0 2 y 0 -1 §11.2.2 一次函數(一) 教學目標 (一)教學知識點 1.掌握一次函數解析式的特點及意義.毛 2.知道一次函數與正比例函數關系. 3.理解一次函數圖象特征與解析式的聯系規律. 4.會用簡單方法畫一次函數圖象. (二)能力訓練要求 1.通過類比的方法學習一次函數,體會數學研究方法多樣性. 2.進一步提高分析概括、總結歸納能力. 3.利用數形結合思想,進一步分析一次函數與正比例函數的聯系,從而提高比較鑒別能力. 教學重點 1.一次函數解析式特點. 2.一次函數圖象特征與解析式聯系規律. 3.一次函數圖象的畫法. 教學難點 1.一次函數與正比例函數關系. 2.一次函數圖象特征與解析式的聯系規律. 課時安排:兩個課時 教學過程 Ⅰ.提出問題,創設情境 問題:某登山隊大本營所在地的氣溫為15℃,海拔每升高1km氣溫下降6℃.登山隊員由大本營向上登高xkm時,他們所處位置的氣溫是y℃.試用解析式表示y與x的關系. 分析:從大本營向上當海拔每升高1km時,氣溫從15℃就減少6℃,那么海拔增加xkm時,氣溫從15℃減少6x℃.因此y與x的函數關系式為:
y=15-6x (x≥0) 當然,這個函數也可表示為:
y=-6x+15 (x≥0) 當登山隊員由大本營向上登高0.5km時,他們所在位置氣溫就是x=0.5時函數y=-6x+15的值,即y=-6×0.5+15=12(℃). 這個函數與我們上節所學的正比例函數有何不同?它的圖象又具備什么特征?我們這節課將學習這些問題. Ⅱ.導入新課 我們先來研究下列變量間的對應關系可用怎樣的函數表示?它們又有什么共同特點? 1.有人發現,在20~25℃時蟋蟀每分鐘鳴叫次數C與溫度t(℃)有關,即C的值約是t的7倍與35的差. 2.一種計算成年人標準體重G(kg)的方法是,以厘米為單位量出身高值h減常數105,所得差是G的值. 3.某城市的市內電話的月收費額y(元)包括:月租費22元,撥打電話x分的計時費(按0.01元/分收取). 4.把一個長10cm,寬5cm的矩形的長減少xcm,寬不變,矩形面積y(cm2)隨x的值而變化. 這些問題的函數解析式分別為:
1.C=7t-35. 2.G=h-105. 3.y=0.01x+22. 4.y=-5x+50. 它們的形式與y=-6x+15一樣,函數的形式都是自變量x的k倍與一個常數的和. 如果我們用b來表示這個常數的話.這些函數形式就可以寫成:
y=kx+b(k≠0) 一般地,形如y=kx+b(k、b是常數,k≠0)的函數,叫做一次函數(linearfunction).當b=0時,y=kx+b即y=kx.所以說正比例函數是一種特殊的一次函數. 練習:
1.下列函數中哪些是一次函數,哪些又是正比例函數? (1)y=-8x. (2)y=. (3)y=5x2+6. (3)y=-0.5x-1. 2.一個小球由靜止開始在一個斜坡向下滾動,其速度每秒增加2米. (1)一個小球速度v隨時間t變化的函數關系.它是一次函數嗎? (2)求第2.5秒時小球的速度. 3.汽車油箱中原有油50升,如果行駛中每小時用油5升,求油箱中的油量y(升)隨行駛時間x(時)變化的函數關系式,并寫出自變量x的取值范圍.y是x的一次函數嗎? 解答:
1.(1)(4)是一次函數;
(1)又是正比例函數. 2.(1)v=2t,它是一次函數. (2)當t=2.5時,v=2×2.5=5 所以第2.5秒時小球速度為5米/秒. 3.函數解析式:y=50-5x 自變量取值范圍:0≤x≤10 y是x的一次函數. [活動一] 活動內容設計:
畫出函數y=-6x與y=-6x+5的圖象.并比較兩個函數圖象,探究它們的聯系及解釋原因. 引導學生從圖象形狀,傾斜程度及與y軸交點坐標上比較兩個圖象,從而認識兩個圖象的平移關系,進而了解解析式中k、b在圖象中的意義,體會數形結合在實際中的表現. 比較上面兩個函數的圖象的相同點與不同點。

結果:這兩個函數的圖象形狀都是______,并且傾斜程度_______.函數 y=-6x的圖象經過原點,函數 y=-6x+5 的圖象與 y軸交于點_______,即它可以看作由直線y=-6x 向_平移__個單位長度而得到.比較兩個函數解析式,試解釋這是為什么. 猜想:一次函數y=kx+b的圖象是什么形狀,它與直線y=kx有什么關系? 結論:一次函數y=kx+b的圖象是一條直線,我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線 y=kx平移b絕對值個單位長度而得到(當b>0時,向上平移;
當b< 0時,向下平移)。

畫出函數y=2x-1與y=-0.5x+1的圖象. 過(0,-1)點與(1,1)點畫出直線y=2x-1. 過(0,1)點與(1,0.5)點畫出直線y=-0.5x+1. [活動二] 活動內容設計:
畫出函數y=x+1、y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1的圖象.由它們聯想:一次函數解析式y=kx+b(k、b是常數,k≠0)中,k的正負對函數圖象有什么影響? 結論:
圖象:
規律:
當k>0時,直線y=kx+b由左至右上升;
當k<0時,直線y=kx+b由左至右下降. 性質:
當k>0時,y隨x增大而增大. 當k<0時,y隨x增大而減小. Ⅲ.隨堂練習 1.直線y=2x-3與x軸交點坐標為_______,與y軸交點坐標為_________,圖象經過第________象限,y隨x增大而_________. 2.分別說出滿足下列條件的一次函數的圖象過哪幾個象限? (1)k>0 b>0 (2)k>0 b<0 (3)k<0 b>0 (4)k<0 b<0 解答:
1.(1.5,0) (0,-3) 三、四、一 增大 2.(1)三、二、一 (2)三、四、一 (3)二、一、四 (4)二、三、四 小結 本節學習了一次函數的意義,知道了其解析式、圖象特征,并學會了簡單方法畫圖象,進而利用數形結合的探究方法尋求出一次函數圖象特征與解析式的聯系,這使我們對一次函數知識的理解和掌握更透徹,也體會到數學思想在數學研究中的重要性. 課后作業 習題11.2─3、4、8題. 活動與探究 在同一直角坐標系中畫出下列函數圖象,并歸納y=kx+b(k、b是常數,k≠0)中b對函數圖象的影響. 1.y=x-1 y=x y=x+1 2.y=-2x+1 y=-2x y=-2x-1 過程與結論:
b決定直線y=kx+b與y軸交點的坐標(0,b). 當b>0時,交點在原點上方. 當b=0時,交點即原點. 當b<0時,交點在原點下方. §11.2.2 一次函數(二) 教學目標 (一)教學知識點 1.學會用待定系數法確定一次函數解析式.毛 2.具體感知數形結合思想在一次函數中的應用 (二)能力訓練目標 1.經歷待定系數法應用過程,提高研究數學問題的技能. 2.體驗數形結合,逐步學習利用這一思想分析解決問題. 教學重點:待定系數法確定一次函數解析式. 教學難點:靈活運用有關知識解決相關問題. 教學過程 1.提出問題,創設情境 我們前面學習了有關一次函數的一些知識,掌握了其解析式的特點及圖象特征,并學會了已知解析式畫出其圖象的方法以及分析圖象特征與解析式之間的聯系規律.如果反過來,告訴我們有關一次函數圖象的某些特征,能否確定解析式呢? 這將是我們這節課要解決的主要問題,大家可有興趣? Ⅱ.導入新課 有這樣一個問題,大家來分析思考,尋求解決的辦法. [活動] 活動設計內容:
已知一次函數圖象過點(3,5)與(-4,-9),求這個一次函數的解析式. 結論:
像這樣先設出函數解析式,再根據條件確定解析式中未知的系數,從而具體寫出這個式子的方法,叫做待定系數法. 練習:
1.已知一次函數y=kx+2,當x=5時y的值為4,求k值. 2.已知直線y=kx+b經過點(9,0)和點(24,20),求k、b值. 3. 生物學家研究表明,某種蛇的長度y (CM)是其尾長x(CM)的一次函數,當蛇的尾長為6CM時, 蛇的長為45.5CM; 當蛇的尾長為14CM時, 蛇的長為105.5CM.當一條蛇的尾長為10 CM時,這條蛇的長度是多少? Ⅲ.小結 Ⅳ.作業 §11.2.2 一次函數(三) 教學目標 (一)教學知識點 利用一次函數知識解決相關實際問題. (二)能力訓練目標 體會解決問題方法多樣性,發展創新實踐能力。

教學重點 靈活運用知識解決相關問題. 教學難點 靈活運用有關知識解決相關問題. 教學過程 1.提出問題,創設情境 我們前面學習了有關一次函數的一些知識及如何確定解析式,如何利用一次函數知識解決相關實踐問題呢? 這將是我們這節課要解決的主要問題. Ⅱ.導入新課 下面我們來學習一次函數的應用. 例1 小芳以200米/分的速度起跑后,先勻加速跑5分鐘,每分提高速度20米/分,又勻速跑10分鐘.試寫出這段時間里她跑步速度y(米/分)隨跑步時間x(分)變化的函數關系式,并畫出圖象. 分析:本題y隨x變化的規律分成兩段:前5分鐘與后10分鐘.寫y隨x變化函數關系式時要分成兩部分.畫圖象時也要分成兩段來畫,且要注意各自變量的取值范圍. 解:y= 我們把這種函數叫做分段函數.在解決分析函數問題時,要特別注意自變量取值范圍的劃分,既要科學合理,又要符合實際. 例2 A城有肥料200噸,B城有肥料300噸,現要把這些肥料全部運往C、D兩鄉.從A城往C、D兩鄉運肥料費用分別為每噸20元和25元;
從B城往C、D兩鄉運肥料費用分別為每噸15元和24元.現C鄉需要肥料240噸,D鄉需要肥料260噸.怎樣調運總運費最少? 通過這一活動讓學生逐步學會應用有關知識尋求出解決實際問題的方法,提高靈活運用能力. 教師活動:
引導學生討論分析思考.從影響總運費的變量有哪些入手,進而尋找變量個數及變量間關系,探究出總運費與變量間的函數關系,從而利用函數知識解決問題. 學生活動:
在教師指導下,經歷思考、討論、分析,找出影響總運費的變量,并認清它們之間的關系,確定函數關系,最終解決實際問題. 活動過程及結論:
通過分析思考,可以發現:A──C,A──D,B──C,B──D運肥料共涉及4個變量.它們都是影響總運費的變量.然而它們之間又有一定的必然聯系,只要確定其中一個量,其余三個量也就隨之確定.這樣我們就可以設其中一個變量為x,把其他變量用含x的代數式表示出來:
若設A──Cx噸,則:
由于A城有肥料200噸:A─D,200─x噸. 由于C鄉需要240噸:B─C,240─x噸. 由于D鄉需要260噸:B─D,260─200+x噸. 那么,各運輸費用為:
A──C 20x A──D 25(200-x) B──C 15(240-x) B──D 24(60+x) 若總運輸費用為y的話,y與x關系為:
y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(60+x). 化簡得:
y=40x+10040 (0≤x≤200). 由解析式或圖象都可看出,當x=0時,y值最小,為10040. 因此,從A城運往C鄉0噸,運往D鄉200噸;
從B城運往C鄉240噸,運往D鄉60噸.此時總運費最少,為10040元. 若A城有肥料300噸,B城200噸,其他條件不變,又該怎樣調運呢? 解題方法與思路不變,只是過程有所不同:
A──C x噸 A──D 300-x噸 B──C 240-x噸 B──D x-40噸 反映總運費y與x的函數關系式為:
y=20x+25(300-x)+15(240-x)+24(x-40). 化簡:y=4x+10140 (40≤x≤300). 由解析式可知:
當x=40時 y值最小為:y=4×40+10140=10300 因此從A城運往C鄉40噸,運往D鄉260噸;
從B城運往C鄉200噸,運往D鄉0噸.此時總運費最小值為10300噸. 如何確定自變量x的取值范圍是40≤x≤300的呢? 由于B城運往D鄉代數式為x-40噸,實際運費中不可能是負數,而且A城中只有300噸肥料,也不可能超過300噸,所以x取值應在40噸到300噸之間. 總結: 解決含有多個變量的問題時,可以分析這些變量間的關系,選取其中某個變量作為自變量,然后根據問題條件尋求可以反映實際問題的函數.這樣就可以利用函數知識來解決了. 在解決實際問題過程中,要注意根據實際情況確定自變量取值范圍.就像剛才那個變形題一樣,如果自變量取值范圍弄錯了,很容易出現失誤,得到錯誤的結論. Ⅲ練習 從A、B兩水庫向甲、乙兩地調水,其中甲地需水15萬噸,乙地需水13萬噸,A、B兩水庫各可調出水14萬噸.從A地到甲地50千米,到乙地30千米;
從B地到甲地60千米,到乙地45千米.設計一個調運方案使水的調運量(萬噸·千米)最少. 解答:設總調運量為y萬噸·千米,A水庫調往甲地水x萬噸,則調往乙地(14-x)萬噸,B水庫調往甲地水(15-x)萬噸,調往乙地水(x-1)萬噸. 由調運量與各距離的關系,可知反映y與x之間的函數為:
y=50x+30(14-x)+60(15-x)+45(x-1). 化簡得:y=5x+1275 (1≤x≤14). 由解析式可知:當x=1時,y值最小,為y=5×1+1275=1280. 因此從A水庫調往甲地1萬噸水,調往乙地13萬噸水;
從B水庫調往甲地14萬噸水,調往乙地0萬噸水.此時調運量最小,調運量為1280萬噸·千米. Ⅳ.小結 本節課我們學習并掌握了分段函數在實際問題中的應用,特別是學習了解決多個變量的函數問題,為我們以后解決實際問題開辟了一條坦途,使我們進一步認識到學習函數的重要性和必要性. Ⅴ.課后作業 習題11.2─7、9、11、12題. 11.3.1 一次函數與一元一次方程 1.方程2x+20=0 2.函數y=2x+20 觀察思考:二者之間有什么聯系? 從數上看:
方程2x+20=0的解,是函數y=2x+20的值為0時,對應自變量的值 從形上看:函數y=2x+20與x軸交點的橫坐標即為方程2x+20=0的解 關系:
由于任何一元一次方程都可轉化為kx+b=0(k、b為常數,k≠0)的形式.所以解一元一次方程可以轉化為:當一次函數值為0時,求相應的自變量的值 從圖象上看,這相當于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點的橫坐標值. 例1 一個物體現在的速度是5m/s,其速度每秒增加2m/s,再過幾秒它的速度為17m/s? (用兩種方法求解) 解法一:設再過x秒物體速度為17m/s. 由題意可知:2x+5=17 解之得:x=6. 解法二:速度y(m/s)是時間x(s)的函數, 關系式為:y=2x+5. 當函數值為17時,對應的自變量x值可通過 解方程2x+5=17得到x=6 解法三:由2x+5=17可變形得到:
2x-12=0. 從圖象上看,直線y=2x-12與x軸的交點為(6,0).得x=6. 例2 利用圖象求方程6x-3=x+2的解 ,并筆算檢驗 解法一:
由圖可知直線y=5x-5與x軸交點為(1,0), 故可得x=1 我們可以把方程6x-3=x+2看作函數y=6x-3與y=x+2在何時兩函數值相等,即可從兩個函數圖象上看出,直線y=6x-3與y=x+2的交點,交點的橫坐標即是方程的解. 解法二:
由圖象可以看出直線y=6x-3與y=x+2交于點(1,3),所以x=1 小結 本節課從解具體一元一次方程與當自變量x為何值時一次函數的值為0這兩個問題入手,發現這兩個問題實際上是同一個問題,進而得到解方程kx+b=0與求自變量x為何值時,一次函數y=kx+b值為0的關系,并通過活動確認了這個問題在函數圖象上的反映.經歷了活動與練習后讓我們更熟練地掌握了這種方法.雖然用函數解決方程問題未必簡單,但這種數形結合思想在以后學習中有很重要的作用 練習:用不同種方法解下列方程:
1.2x-3=x-2. 2.x+3=2x+1. 補充練習1.某單位急需用車,但又不準備買車,他們準備和一個體車主或一國有出租車公司其中一家簽讓合同.設汽車每月行駛x千米,應付給個體車主的月費用是y1元,應付給出租車公司的月費用是y2元,y1、y2分別是x之間函數關系如下圖所示.每月行駛的路程等于多少時,租兩家車的費用相同,是多少元? 2.42:練習1(1)(2) 課后作業 習題11.3─1、2、5、8題. 第十五章 整式的乘法 15.1.1 同底數冪的乘法 教學目的:
1、能歸納同底數冪的乘法法則,并正確理解其意義;

2、會運用同底數冪的乘法公式進行計算,對公式中字母所表示“數”的各種可能情形應有充分的認識,并能與加減運算加以區分;
了解公式的逆向運用;

教學重點:同底數冪的乘法法則 難點:底數的不同情形,尤其是底數為多項式時的變號過程 一、創設情境,激發求知欲 課本第140頁的引例 二、復習提問 1.乘方的意義:求n個相同因數a的積的運算叫乘方 2.指出下列各式的底數與指數:
(1)34;
(2)a3;
(3)(a+b)2;
(4)(-2)3;
(5)-23. 其中,(-2)3與-23的含義是否相同?結果是否相等?(-2)4與-24呢? 三、講授新課 1.(課本141頁 問題) 利用乘方概念計算:1014×103. 2、 計算觀察,探索規律:完成課本第141頁的“探索”,學生“概括”am×an=…=am+n;

3、? 觀察上式,找出其中包含的特征:左邊的底數相同,進行乘法運算;

右邊的底數與左邊相同,指數相加 4、? 歸納法則:同底數的冪相乘,底數不變,指數相加。

三、實踐應用,鞏固創新 例1、計算:
(1)x2 ·x5 (2)a·a6 (3) 2×24×23 (4) xm ·x3m + 1 練習:
1. 課本第142頁:(學生板演過程,寫出中間步驟以體現應用法則) 2.隨堂鞏固:下面計算否正確?若不正確請加以糾正。

????①a6·a6=2a6?????②a2+a4=a6 ③ a2·a4 =a8 例2、計算:
要點指導:
底數中負號的處理;
能化為同底數冪的數字底數的處理;
多項式底數及符號的處理。

例3、??(1)填空:⑴若xm+n×xm-n=x9;
則m= ;

⑵2m=16,2n=8,則2m+n = 。

四、歸納小結,布置作業 小結:1、同底數冪相乘的法則;

2、法則適用于三個以上的同底數冪相乘的情形;

3、相同的底數可以是單項式,也可以是多項式;

4、要注意與加減運算的區別。

15.1.2 冪的乘方 教學目標:
1、經歷探索冪的乘方的運算性質的過程,進一步體會冪的意義;

2、了解冪的乘方的運算性質,并能解決一些實際問題. 教學重點:冪的乘方的運算性質及其應用. 教學難點:冪的運算性質的靈活運用. 一:知識回顧 1.講評作業中出現的錯誤 2.同底數冪的乘法的應用的練習 二:新課引入 探究:根據乘方的意義及同底數冪的乘法填空,看看計算的結果有什么規律:
(1)(32)3= 32 × 32 × 32 = 3 ﹝ ﹞ (2)(a2)3 = a2·a2·a2 = a ﹝ ﹞ (3)(am)3 = am·am ·am = a﹝ ﹞ (4)(am)n = = = amn. 觀察結果,發現冪在進行乘方運算時,可以轉化為指數的乘法運算. 引導學生歸納同底數冪的乘法法則:
冪的乘方,底數不變,指數相乘. 即:(am)n=amn(m、n都是正整數). 二、知識應用 例題 :(1)(103)5;

(2)(a4)4;

(3)(am)2;
(4)-(x4)3;

說明:-(x4)3表示(x4)3的相反數 練習:課本第143頁 ( 學生黑板演板) 補充例題:
(1)(y2)3·y (2)2(a2)6-(a3)4 (3)(ab2)3 (4) - ( - 2a 2b)4 說明:(1) (y2)3·y中既含有乘方運算,也含有乘法運算,按運算順序,應先乘方,再做乘法,所以,(y2)3·y = y2×3·y = y6+1 = y7;

(2) 2(a2)6-(a3)4按運算順序應先算乘方,最后再化簡.所以,2(a2)6-(a3)4=2a2×6-a3×4=2a12-a12=a12. 三 冪的乘方法則的逆用 . (1)x13·x7=x( )=( )5=( )4=( )10;

(2)a2m =( )2 =( )m (m為正整數). 練習:
1.已知3×9n=37,求n的值. 2.已知a3n=5,b2n=3,求a6nb4n的值. 3.設n為正整數,且x2n=2,求9(x3n)2的值. 四、歸納小結、布置作業 小結:冪的乘方法則. 15.1.3 積的乘方 教學目標:
1、經歷探索積的乘方的運算性質的過程,進一步體會冪的意義;

2、了解積的乘方的運算性質,并能解決一些實際問題. 教學重點:積的乘方的運算性質及其應用. 教學難點:積的乘方運算性質的靈活運用. 教學過程:
一. 創設情境,復習導入 1 .前面我們學習了同底數冪的乘法、冪的乘方這兩個運算性質,請同學們通過完成一組練習,來回顧一下這兩個性質:
(1)  (2) (3)  (4) 2.探索新知,講授新課 (1)(3×5)7 ——積的乘方 = ——冪的意義 =× ——乘法交換律、結合律 =37×57;

——乘方的意義 (2) (ab)2 = (ab) · (ab) = (a·a) ·(b ·b) = a( ) b( ) (3) (a2b3)3 = (a2b3) · ( a2b3) ·( a2b3) = (a2 ·a2· a2 ) ·(b3·b3·b3) = a( ) b( ) (4) (ab)n = ——冪的意義 =· ——乘法交換律、結合律 =anbn . ——乘方的意義 由上面三個式子可以發現積的乘方的運算性質:
積的乘方,等于把每一個因式分別乘方,再把所得的冪相乘. 即:(ab)n=an·bn 二、知識應用,鞏固提高 例題3 計算 (1)(2a )3;

(2)(-5b)3;

(3)( xy2 )2;

(4)(- 2/3x3)4. (5)(-2xy)4 (6)(2×103 )2 說明:
(5)意在將(ab)n=anbn推廣,得到了(abc)n=anbncn 判斷對錯:下面的計算對不對?如果不對,應怎樣改正?   ①   ②   ③ 練習:課本第144頁  三.綜合嘗試,鞏固知識   補充例題:? 計算:
  (1)   (2) 四.逆用公式:,即 預備題:(1)   (2) 例題:(1)0.12516·(-8) 17;
(2) (2)已知2m=3,2n=5,求23m+2n的值. (注解):23m+2n=23m·22n=(2m)3·(2n)2=33·52=27×25=675. 四、歸納小結、布置作業 作業:習題 15.1 15.1.4 整式的乘法 (單項式乘以單項式) 教學目標:經歷探索單項式與單項式相乘的運算法則的過程,會進行整式相乘的運算。

教學重點:單項式與單項式相乘的運算法則的探索. 教學難點:靈活運用法則進行計算和化簡. 教學過程:
一. 復習鞏固:
同底數冪,冪的乘方,積的乘方三個法則的區分。

二. 提出問題,引入新課 (課本引例):光的速度約為3×105千米/秒,太陽光照射到地球上需要的時間大約是5×102秒,你知道地球與太陽的距離約是多少千米嗎? (1)怎樣計算(3×105)×(5×102)?計算過程中用到哪些運算律及運算性質? (2)如果將上式中的數字改為字母,比如ac5?bc2怎樣計算這個式子? 說明:(3×105) ×(5×102),它們相乘是單項式與單項式相乘. ac5?bc2是兩個單項式ac5與bc2相乘,我們可以利用乘法交換律,結合律及同底數冪的運算性質來計算:ac5?bc2=(a?b)?(c5?c2)=abc5+2=abc7. 三. 單項式乘以單項式的運算法則及應用 單項式與單項式相乘,把它們的系數、相同字母分別相乘,對于只在一個單項式里含有的字母,則連同它的指數作為積的一個因式. 例4 (課本例題) 計算:(學生黑板演板) (1)(-5a2b)(-3a);

(2)(2x)3(-5xy2). 練習1(課本)計算:
(1)3x25x3;

(2)4y(-2xy2);

(3)(3x2y)3?(-4x);

(4)(-2a)3(-3a)2. 練習2(課本)下面計算的對不對?如果不對,應當怎樣改正? (1)3a3?2a2 = 6a6;

(2)2x2 ? 3x2 = 6x4 ;

(3)3x2 ? 4x2 = 12x2;

(4)5y3 ? y5 = 15y15. 四.鞏固提高 (補充例題):
1.(-2x2y)·(1/3xy2) 2.(-3/2ab)·(-2a)·(-2/3a2b2) 3.(2×105)2·(4×103) 4.(-4xy)·(-x2y2)·(1/2y3) 5.(-1/2ab2c)2·(-1/3ab3c2)3·(12a3b) 6.(-ab3)·(-a2b)3 7.(-2xn+1yn)·(-3xy)·(-1/2x2z) 8.-6m2n·(x-y)3·1/3mn2·(y-x)2 五.小結作業 方法歸納:
(1) 積的系數等于各系數的積,應先確定符號。

(2) 相同字母相乘,是同底數冪的乘法。

(3) 只在一個單項式里含有的字母,要連同它的指數寫在積里,注意不要把這個因式丟掉。

(4) 單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用。

(5) 單項式乘單項式的結果仍然是單項式。

作業:課本149頁 3 15.1.4 整式的乘法 (單項式乘以多項式) 教學目標:經歷探索單項式與多項式相乘的運算法則的過程,會進行整式相乘的運算。

教學重點:單項式與多項式相乘的運算法則的探索. 教學難點:靈活運用法則進行計算和化簡. 教學過程:
一. 復習舊知 1. 單項式乘單項式的運算法則 2. 練習:9x2y3·(-2xy2) (-3ab)3·(1/3abz) 3. 合并同類項的知識 二、問題引入,探究單項式與多項式相乘的法則 (課本內容):三家連鎖店以相同的價格m(單位:元/瓶)銷售某種商品,它們在一個月內的銷售量(單位:瓶)分別是a、b、c.你能用不同的方法計算它們在這個月內銷售這種商品的總收入嗎? 學生獨立思考,然后討論交流.經過思考可以發現一種方法是先求出三家連鎖店的總銷量,再求總收入,為:m(a+b+c). 另一種計算方法是先分別求出三家連鎖店的收入,再求它們的和,即:ma+mb+mc. 由于上述兩種計算結果表示的是同一個量,因此 m(a+b+c)=ma+mb+mc. 學生歸納:單項式與多項式相乘,就是用單項式去乘多項式的每一項,再把所得的積相加 . 引導學生體會:單項式與多項式相乘,就是利用乘法分配律轉化為單項式與單項式相乘, 三.講解例題 1. 例題5(課本) 計算:
(1)(-4x2)(3x+1);

(2) 2 .補充例題1:
化簡求值: (-3x)2 - 2x ( x+3 ) + x·x +2x ·(- 4x + 3)+ 2007 其中:x = 2008 練習:課本146頁 1、2 3.補充練習:
計算 1.2ab(5ab2+3a2b);

2.(ab2-2ab)· ab;

3.-6x(x-3y);

4.-2a2(ab+b2). 5.(-2a2)·(1/2ab + b2) 6. (2/3 x2y - 6x y)·1/2xy2 7. (-3 x2)·(4x 2- 4/9x + 1) 8 3ab·( 6 a2b4 -3ab + 3/2ab3 ) 9. 1/3xny ·(3/4x2-1/2xy-2/3y-1/2x2y) 10. ( - ab)2 ·( -3ab)2·(2/3a2b + a3·a2·a -1/3a ) 四.小結歸納,布置作業:
作業:課本第149頁 4 15.1.4 整式的乘法(多項式乘以多項式) 教學目標:經歷探索多項式與多項式相乘的運算法則的過程,會進行整式相乘的運算. 教學重點:多項式與多項式相乘的運算法則的探索 教學難點:靈活運用法則進行計算和化簡. 教學過程:
m n a b bn bm am an 一.復習舊知 講評作業 二.創設情景,引入新課 (課本)如圖,為了擴大街心花園的綠地面積,把一塊原長a米、寬m米的長方形綠地,增長了b米,加寬了n米.你能用幾種方法求出擴大后的綠地面積? 一種計算方法是先分別求出四個長方形的面積,再求它們的和,即(am+an+bm+bn)米2. 另一種計算方法是先計算大長方形的長和寬,然后利用長乘以寬得出大長方形的面積,即(a +b)(m+n)米2. 由于上述兩種計算結果表示的是同一個量,因此 (a +b)(m+n)= am+an+bm+bn. 教師根據學生討論情況適當提醒和啟發,然后對討論結果(a +b)(m+n)=am+an+bm+bn進行分析,可以把m+n看做一個整體,運用單項式與多項式相乘的法則,得 (a +b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n), 再利用單項式與多項式相乘的法則,得 a(m+n)+b(m+n)= am+an+bm+bn. 學生歸納:多項式與多項式相乘,就是先用一個多項式中的每一項去乘另一個多項式的每一項,再把所得的積相加. 三、應用提高、拓展創新 例6(課本):計算 (1)(3x+1)(x+2) ; (2) (x -8y)(x-y) ; (3) (x+y)(x2-xy+y2) 進行運算時應注意:不漏不重,符號問題,合并同類項 練習:(課本)148頁 1 2 補充例題:
1. (a+b)(a-b)-(a+2b)(a-b) 2. (3x4-3x2+1)(x4+x2-2) 3. (x-1)(x+1)(x2+1) 4. 當a=-1/2時,求代數式 (2a-b)(2a+b)+(2a-b)(b-4a)+2b(b-3a)的值 四.歸納總結,布置作業 課本 149頁 5 15.2.1 平方差公式 教學目標:經歷探索平方差公式的過程,會推導平方差公式,并能運用公式進行簡單的運算. 教學重點:平方差公式的推導和應用. 教學難點:靈活運用平方差公式解決實際問題. 過程:
一. 創設問題情境,激發學生興趣,引出本節內容 活動1 知識復習 多項式與多項式相乘的法則:多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項,再把所得的積相加. (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 活動2 計算下列各題,你能發現什么規律? (1)(x+1)(x-1);

(2)(a+2)(a-2);

(3)(3-x)(3+x);

(4)(2m+n)(2m-n). 再計算:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2. 得出平方差公式 (a+b)(a-b)= a2-b2.即兩數和與這兩數差的積等于這兩個數的平方差. 活動3 請用剪刀從邊長為a的正方形紙板上,剪下一個邊長為b的小正方形(如圖1),然后拼成如圖2的長方形,你能根據圖中的面積說明平方差公式嗎? 圖1 圖2 圖1中剪去一個邊長為b的小正方形,余下圖形的面積,即陰影部分的面積為 (a2-b2). 在圖2中,長方形的長和寬分別為(a+b)、(a-b),所以面積為 (a+b)(a-b). 這兩部分面積應該是相等的,即(a+b)(a-b)= a2-b2. 二、知識應用,鞏固提高 例1 計算:
(1)(3x+2)(3 x-2);

(2)(-x+2y)(-x-2y) (3)(b+2a)(2a-b);

(4)(3+2a) (-3+2a) 練習:加深對平方差公式的理解 (課本 153頁練習1有同種題型) 下列多項式乘法中,能用平方差公式計算的是( ) (1)(x+1)(1+x);

(2)(a+b)(b-a);

(3)(-a+b)(a-b);

(4)(x2-y)(x+y2);

(5)(-a-b)(a-b);

(6)(c2-d2)(d 2+c2). 例題2:計算 (1)102×98 (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) (3)(a+b+c)(a-b+c)(補充) (4) 20042-20032(補充) (5) (a + 3 )(a - 3)( a2 + 9 ) (補充) 說明:(3)意在說明公式中的a,b可以是單項式,也可以是多項式 (4) 意在說明公式的逆用 練習:課本153頁 2 四、歸納小結、布置作業 課本習題 156 頁 習題 1 ;

5 15.2.2 完全平方公式 (第1課時) 教學目標:完全平方公式的推導及其應用;
完全平方公式的幾何背景;
體會公式中字母的廣泛含義,它可以是數,也可以是整式. 教學重點:(1)完全平方公式的推導過程、結構特點、語言表述、幾何解釋;

(2)完全平方公式的應用. 教學難點:完全平方公式的推導及其幾何解釋和公式結構特點及其應用. 教學過程:
一、 激發學生興趣,引出本節內容 活動1 探究,計算下列各式,你能發現什么規律? (1)(p+1)2 =(p+1)(p+1)=_________;

(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=_________;

(3)(p-1)2 =(p-1)(p-1)=_________;

(4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=_________. 答案:(1)p2+2p+1;

(2)m2+4m+4;

(3)p2-2p+1;

(4)m2-4m+4. 活動2 在上述活動中我們發現(a+b)2=,是否對任意的a、b,上述式子都成立呢? 學生利用多項式與多項式相乘的法則進行計算,觀察計算結果,尋找一般性的結論,并進行歸納,用多項式乘法法則可得 (a+b)2=(a+b)(a+b)= a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2. (a-b)2=(a-b)(a-b)=a(a-b)-b(a-b)=a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2. 二、問題引申,總結歸納完全平方公式 兩數和(或差)的平方,等于它們的平方和,加(或減)它們的積的2倍,即 (a + b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2. 在交流中讓學生歸納完全平方公式的特征:
(1)左邊為兩個數的和或差的平方;

(2)右邊為兩個數的平方和再加或減這兩個數的積的2倍. 活動4 你能根據教材中的圖15.2-2和圖15.2-3中的面積說明完全平方公式嗎? 三.例題講解,鞏固新知 例3:(課本)運用完全平方公式計算 (1) (4m+ n)2 ; (2) (y-1/2)2 補充例題:運用完全平方公式計算 (1)(-x+2y)2;

(2)(-x-y)2;

(3) ( x + y )2-(x-y)2. 說明:(1)題可轉化為(2y-x)2或(x-2y)2,再運用完全平方公式;

(2)題可以轉化為(x+y)2,利用和的完全平方公式;

(3)題可利用完全平方公式,再合并同類項,也可逆用平方差公式進行計算. 例 4:(課本) 運用完全平方公式計算 (1)1022;

(2)992. 思考:(a+b)2與(-a-b)2相等嗎?為什么? (a-b)2與(b-a)2相等嗎?為什么? (a-b)2與a2-b2相等嗎?為什么? 練習:課本155頁 1 ;
2 補充例題:
(1) 如果x 2 + kxy + 9y2是一個完全平方式,求k的值 (2) 已知x+y=8,xy=12,求x2 + y2 ;

(x - y )2的值 (3) 已知 a + 1/a = 3 ,求 a2 + 1/a2 四、歸納小結、布置作業 小結:完全平方公式. 作業:課本156 頁 習題 2 ;

6;

7 15.2.2 完全平方公式(第2課時) 教學目標:熟練掌握完全平方公式及其應用,理解公式中添括號的方法 重點:添括號法則及完全平方公式的靈活應用 難點:添括號法則及完全平方公式的靈活應用 內容:
一 復習舊知,引入添括號法則 去括號法則:a +(b+c) = a+b+c a -(b+c) = a - b - c 添括號法則:a+b+c = a +(b+c) a - b - c = a -(b+c) 添括號時,如果括號前面是正號,括到括號里的各項都不變符號;
如果括號前面是負號,括到括號里的各項都改變符號。

練習:(課本156頁 練習 1 有同種類型題) a + b -c = a +(b - c ) = a - (- b + c ) a - b + c = a + ( - b + c ) = a - ( b - c ) 二 講解例題,鞏固新知 例題5 運用乘法公式計算:(課本) (1)( x + 2y - 3 ) ( x -2y + 3) (2)(a + b +c )2. 練習 :
課本 156頁 練習 2 三 補充例題,開闊眼界 1 利用乘法公式化簡求值題 (2x + y )2 - ( x + y )(x – y) ,其中x = 1 ,y = - 2 2 乘法公式在解方程和不等式中的應用 ①已知(a +b )2 = 7 ,( a - b )2 = 4 求 a 2+ b 2 和 ab的值 ②解不等式:
( 2x -5 ) (- 5 -2x) + (x + 5 )2﹥ 3x (- x + 2 ) 3 與三角形知識相結合的應用 已知三角形ABC的三邊長a 、b、c ,滿足a2 + b2 + c2- ab – bc - ac = 0,試判斷三角形的形狀。

四 總結歸納,布置作業 添括號法則 作業:
課本 157頁 3 ;
4;
5;
8;
9;
(根據學生情況酌定) 15. 3. 1 同底數冪的除法 教學目標:
1、經歷探索同底數冪的除法的運算性質的過程,進一步體會冪的意義,發展推理能力和有條理的表達能力。

2、了解同底數冪的除法的運算性質,并能解一些實際問題。

教學重點:公式的實際應用。

教學難點:a0=1中a≠0的規定。

教學過程:
一、 探索同底數冪的除法法則 1、根據除法的意義填空,并探索其規律 (1)5 5÷5 3=5( ) (2)107÷105=10( ) (3)a6÷a3=a( ) 推導公式:a m ÷a n = a m - n(a≠0,m、n為正整數,且m>n) 歸納:同底數冪相除,底數不變,指數相減。

2、比較公式 a m·an=am + n (am)n= am n (ab)m = a m bm am ÷an =am - n 比較其異同,強調其適用條件 二、 實際應用 例1:計算 (1)x8÷x2 (2)a4÷a (3)(ab)5÷(ab)2 例2:一種數碼照片的文件大小是28 K,一個存儲量為26 M(1M=210K)的移動存儲器能存儲多少張這樣的數碼照片? 解:26 M=26×210 K=216 K 216÷28=28(張)=256(張) 三、 探究a0的意義 根據除法的意義填空,你能得什么結論? (1)32÷32= (2)103÷103= (3)am÷am= (a≠0) 由除法意義得:am÷an=1 (a≠0) 如果依照am÷am=am - m=a0 于是規定:a0=1 (a≠0) 即任何不等于0的數的0次冪都等于1 四、練習:P160 1、2、3 五、作業:P164 習題15.3 1、4、5、7 15.3. 2 整式的除法(1) 教學目標:經歷探索單項式除以單項式法則的過程,會進行單項式除以單項式的運算。

教學重點:運用法則計算單項式除法 教學難點:法則的探索 教學過程:
一、提出問題,引入新課] 問題:木星的質量約是1.90×1024噸,地球的質量約是5.98×1021噸,你知道木星的質量約為地球質量的多少倍嗎? 如何計算:(1.90×1024)÷(5.98×1021),并說明依據。

二、討論問題,得出法則 討論如何計算:
(1)8a3÷2a (2)6x3y÷3xy (3)12a3b3x3÷3ab2 [注:8a3÷2a就是(8a3)÷(2a)] 由學生完成上面練習,并得出單項式除單項式法則。

單項式除以單項式法則:
單項式相除,把系數與同底數冪分別相除,作為商的因式,對于只在被除式里含有的字母,則連同它的指數作為商的一個因式。

三、法則的應用 例1:計算 (1)28x4y2÷7x3y (2)-5a5b3c÷15a4b 練習:P162 1、2 例2:計算下列各題 (1)(a+b)4÷(a+b)2 (2)[(x-y)3]3÷[(y-x)2]4 (3)(-6x2y)3÷(-3xy)3 例3:當x=-2,y=1/4時,求代數式:
(-4x2)÷(-4x)2+12x3y2÷(-4x2y)-24x4y3÷(-4x3y2)的值 例4:已知 5m=3 25m=11,求 5 3m - 2n的值。

四、歸納小結,布置作業 本節所學法則可與前面所學的三個法則比較,理解并記憶。

五、學校作業:P164 2、4、5、6 補充作業:
1、月球距離地球大約3.84×105km,一架飛機的速度約為 8×102km/h,如果坐此飛機飛行這么遠的距離,大約需要多長時間? 2、觀察下面一列式子,根據你所看到的規律進行填空:
a,-2a2,4a2,-8a2,……,第10項為 ,第n項為 。

3、已知am=4,an=3,ak=2 則am - 3k + 2n= 4、16m÷4n÷2等于( ) (A)2m-n-1 (B)22m-n-2 (C)23m-2n-1 (D)24m-2n-1 15. 3. 3 整式的除法(2) 教學目標:經歷探索多項式除以單項式法則的過程,會進行多項式除以單項式的運算。

教學重點:運用法則計算多項式除以單項式。

教學難點:
(1)法則的探索;

(2)法則的逆應用;

教學過程: 一、復習舊知: 計算: (1)am÷m+bm÷m (2)a2÷a+ab÷a (3)4x2y÷2xy+2xy2÷2xy 二、探索多項式除以單項式法則 計算:(am+bm)÷m,并說明計算的依據 ∵(a+b)m = am+bm ∴(am+bm)÷m=a+b 又am÷m+bm÷m=a+b 故(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m 用語言描述上式,得到多項式除以單項式法則:
多項式除以單項式,先把這個多項式的每一項除以這個單項式,再把所得的商相加。

根據法則:(a2+ab)÷a= + 三、實踐應用 例1:計算 (1)(4x2y+2xy2)÷2xy (2)(12a3-6a2+3a)÷3a (3)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y) (4)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x 練習:P163 (1)(2)(3)(4) 例2:計算 (1)(2/5a3x4-0.9ax3)÷3/5ax3 (2)(2/5x3y2-7xy2+2/3y3)÷2/3y2 例3:化簡求值 (1)(x5+3x3)÷x3-(x+1)2 其中x=-1/2 (2)[(x+y)(x-y)-(x-y)2+2y(x-y)]÷4y 其中x=2,y=1 四、歸納小結,布置作業 P164 3 8 思考題:
(1) ÷(-4x2)=-3x2+4x-2 (2)長方形的面積為4a2-6ab+2a,若它的一個邊長為2a,則它的周長是 。

(3)已知3n+11m能被10整除,求證:3n+4+11m+2能被10整除。

15. 4.1 提公因式法 教學目標:
1、理解因式分解的概念。

2、會確定多多項式的公因式。

3、會用提公因式法分解因式。

教學重點:用提公因式法分解因式 教學難點:公因式的確定 教學過程:
一、分解因式(因式分解)的概念 計算:
(1)x(x+1) (2)(x+1)(x-1) (學生練習,并演板) x(x+1)=x2+x (x+1)(x-1)=x2-1 上面二式都是整式乘法,即把整式的乘積化為多項式的形式。

反過來:x2+x=x(x+1) x2-1=(x+1)(x-1) 即把多項式化為整式積的形式。

因式分解:把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做這個多項式因式分解(或分解因式)。

因式分解與整式乘法是相反方向的變形,即它們互為逆運算。

判斷下列各式由左邊到右邊的變形中,哪些是因式分解:
(1)6=2×3 (2)a(b+c)=ab+ac (3)a2-2a+1=a(a-2)+1 (4)a2-2a=a(a-2) (5)a+1=a(1+1/a) 二、提公因式法 1、公因式 多項式ma+mb+mc中,各項都有一個公共的因式m,稱為該多項式的公因式。

一般地,一個多項式各項都有的公共的因式稱為這個多項式的公因式。

指出下列各多項式的公因式 (1)8a3b2+12ab3c (2)8m2n+2mn (3)-6abc+3ab2-9a2b 通過以上各題,你對確定多項式的公因式有什么方法?(學生歸納、總結) 2、提公因式法 由m(a+b+c)=ma+mb+mc,得到ma+mb+mc+=m(a+b+c),其中,一個因式是公因式m,另一個因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,這種分解因式的方法叫做提公因式法。

三、例1:把(1)2a2b-4ab2 (2)8a3b2+12ab3c分解因式 解:(1)2a2b-4ab2 =2ab×a-2ab×2b =2ab(a-2b) (2)8a3b2+12ab3c =4ab2×2a2+4ab2×3bc =4ab2(2a2+3bc) 練習:P167 1(1)(2) 例2:把2a(b+c)-3(b+c)分解因式 練習:P167 1(3)(4) 2 例3:用簡便方法計算 (1)9992+999 (2)20072-2006×2007 練習:P167 3 四、歸納小結,布置作業 (1)分解因式 (2)確定公因式 (3)提公因式方法 P170 習題 15.4 1 6 補充練習:
1、分解因式:
(1)m2(a-2)+m(2-a) (2)m-n-mn+1 (3)a2n-an (4)(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a) 2、計算:210-29-28 3、已知a-b=3,ab=-1,求a2b-ab2 4、若a為實數,則多項式a2(a2-1)-a2+1的值( ) A、不是負數 B、恒為正數 C、恒為負數 D、不等于0 5、證明:817-279-913能被45整除 6、若關于x的二次三項式3x2-mx+n分解因式結果為(3x+2)(x-1),則m= ,n= 。

15. 4.2 公式法(1) 教學目標:
(1)進一步理解分解因式的概念。

(2)能熟練運用平方差公式分解因式。

教學重點:把符合公式形式的多項式寫成平方差的形式,并分解因式。

教學難點:(1)確定多項式中的a、b;(2)分解徹底; 教學過程:
一、 復習鞏固 1、什么叫分解因式? 2、用提公因式法分解因式 (1)2xy-4y (2)-2x(x+1)+(x+1)2 二、用平方差公式分解因式 把公式(a+b)(a-b)=a2-b2反過來就得到 a2-b2=(a+b)(a-b) 該公式用語言敘述為:
兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數差的積。

注:(1)使用平方差公式分解因式時,必須先把原多項式寫成兩“數”平方差的形式,再分解因式,即用公式分解因式時,必須認準其中的“a”與“b”。

(2)公式中的a、b即可以是單項式,也可以是多項式。

三、公式的應用 例1:分解因式 (1)4x2-9 (2)(x+p)2-(x+q)2 解:(1)4x2-9 =(2x)2-32 =(2x+3)(2x-3) (2)(x+p)2-(x+q)2 =[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)] =(2x+p+q)(p-q) 練習P168 1 2 例2:分解因式 (1)x4-y4 (2)a3b-ab 注:分解因式,必須進行到每一個進行因式都不能再分解為止。

練習:分解因式 (1)a3-a (2)-(1+xy)2+(1-xy)2 (3)x2(x-y)+y2(y-x) (4)1-x4 (5)2x2-8 (6)m2(a-2)+m(2-a) (7)m2-n2+2m-2n 四、小結 (1)應用平方差公式分解因式,必須認準的a與b。

(2)分解因式必須徹底。] (3)有公因式的先提公因式,再用公式分解。

五、作業:P171 2 7 15. 4. 3 公式法(2) 教學目標:熟練應用完全平方公式分解因式 教學重點:把多項式寫成符合公式的形式,并分解因式。

教學難點:(1)辨認多項式中的“a”與“b”;
(2)分解到底。

教學過程:
一、復習平方差公式,并練習下列各題 (1)-a2+b2 (2)(x+2)2-(x-2)2 (3)2a-8a2 二、用完全平方公式分解因式 把整式乘法的完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 反過來,得到:
a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 注:(1)形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式,說出它們的特點。

(2)利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多項式因式分解。

(3)上面兩個公式用語言敘述為:
兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍,等于這兩個數的和(或差)的平方。

三、例題或練習:
1、下列多項式是不是完全平方式?為什么? (1)a2-2a+1 (2)a2-4a+4 (3)a2+2ab-b 2 (4)a2+ab+b2 (5)9a2-6a+1 (6)a2+a+1/4 2、分解因式 (1)16x2+24x+9 (2)-x2+4xy-4y2 解:16x2+24x+9 =(4x)2+2·4x·3+32 [a2+2·a·b+b2] =(4x+3)2 [(a+b)2] 3、分解因式 (1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36 練習:P170 2(1)――(6) 四、歸納小結,布置作業 (1)用完全平方公式分解因式時,必須認準a與b。

(2)分解因式要“完全徹底”。

作業:P171 3 5 9 15. 4. 4 習題課 教學目標:綜合應用提出因式法和公式法分解因式 教學重點:(1)熟練應用分解因式的兩種方法分解因式;

(2)兩種方法的綜合應用; 教學難點:(1)選擇恰當的分解方法;
(2)把多項式分解徹底; 教學過程:
一、分解因式有哪些方法?你認為在使用這些方法時,應注意什么? 二、例題或練習 1、下邊從左到右的變形,是因式分解的有 。

(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2)a2-2ab+b2=(b-a)2 (3)x2-4x+5=(x-2)2+1 (4)x2-4x+5=x(x-4)+5 (5)(x+3)(x-3)=x2-9 (6)-ma+mb-mc=-m(a+b+c) 2、-m(a-x)(x-b)-mn(a-x)(b-x)的公因式是( ) 3、下列各式能用完全平方公式分解因式的是( ) A、x2+4y2 B、x2-2xy+4y 2 C、-x2-4xy+4y2 D、(x-y)2-10(y-x)+25 4、填空:
(1)-1/9a2+1/4=( )2-( )2 (2)4x2+1+ =( +1)2 (3)1/9x2+ +1/4y2=(9/3x-1/2y)2 (4)若x2+kx+64是完全平方式,則k的值為 。

(5)x2+5x+ =( )2 5、把下列各式分解因式:
(1)a4+3a2 (2)5(a-2)3-3(2-a)2 (3)(x-2)2-x+2 (4)a(a-b-c)+b(b+c-a) (5)(a-b)2(a+b)3-(b-a)3(b+a)2 (6)-2xy+6x2y2-8x2y 6、把下列各式分解因式:
(1)1/2x2-2y2 (2)-6a-a2-9 (3)(1/36x-1/3)x+1 (4)(a+b)2-4(a+b-1) (5)x2+8x(x+1)+16(x+1)2 (6)2(a2+b2)(a+b)2-(a2-b2)2 (7)x3+x2+0.25x (8)(x2-x)2+1/2(x2-x)+1/16 (9)x3-x2+4 7、(1)求證對于任意自然數n,2n+4 -2n是30的倍數。

(2)求證:248 -1可以被63和65整除。

作業:P 171 4 6 8 10 課外作業:P173 數學活動 1 2 15. 4. 5 十字相乘法(二次項系數為1) 教學目標:
使學生理解并掌握二次項系數為1的二次三項式的因式分解。

教學重點:準確、迅速進行十字相乘分解因式。

教學難點:p與q異號的情形。

教學過程:
一、復習鞏固 課本:P148練習2,觀察規律,得到 (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 反過來,有x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 它告訴我們:對于二次項系數為1的二次三項式,如果它的常數項能夠分解成兩個因數,并且它們的和恰好等于一次項系數,那么,它就可以分解成兩個一次因式的積。

如:x2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2) X2+(-1+2)x+(-1)×2=(x-1)(x+2) 二、例題與練習 例1:分解因式 x2+6x+8 解:x2+6x+8=x2+(2+4)x+2×4 =(x+2)(x+4) 熟練后,中間步驟可省去。

練習:分解因式 (1)x2+7x+12 (2)x2+12x+20 例2:分解因式 x2-8x+15 分析:因為-8為負數,所以15應分解為兩個負數之積。

解:x2-8x+15 =x2+[(-3)+(-5)]x+(-5)×(-3) =[x+(-3)][x+(-5)] =(x-3)(x-5) 練習:分解因式:(1)x2-3x+30 (2)x2-8x+12 例3:分解因式 (1)x2-3x-10 (2)x2+9x-10 分析(由學生分析,解答) 練習:分解因式 (1)x2-3x-4 (2)x2+10x-24 (3)a2+a-20 (4)a2-9a-36 例4:分解因式 (1)x2-7xy-18y2 (2)x2y2+7xy-44 (3)x2-20xy+96y2 (4)a4-21a2-100 例5:分解因式 (1)-a2+6ab-9b2 (2)-x2-3x+4 (3)x-x2+42 (4)x2(x2-20)+64 (5)3x2y2-9xy-12 (6)(x2+x)2-14(x2+x)+24 (7)(x2+x)(x2+x-1)-2 例6:求證:四個連續自然數的乘積與1的和一定是某個自然數的平方。

作業:課本P 172 (1)(2)(3)(4) 15. 4. 6 小結與復習 教學目標:把握本章知識脈絡,掌握本章基礎知識。

教學重點:(1)整的乘除法;(2)因式分解; 教學難點:
(1)正確使用公式;
(2)逆用公式解題;

教學過程:
一、本章知識結構圖:
整式乘法 乘法公式 整式除法 分解因式 二、回顧與思考:
1、冪的運算性質是整式乘除法的基礎,單項式的乘除是整式乘除的關鍵,舉例說明怎樣將多項式乘(除以)單項式,多項式乘多項式轉化為單項式的乘除。

2、把一些特殊形式的多項式乘法寫成公式的形式,可以簡化運算,本章學習了哪些乘法公式?你能從圖形角度解釋公式的合理性嗎? 3、舉例說明因式分解與整式乘法之間的關系,你學習了哪幾種分解因式的方法?請舉例說明。

三、例題與練習:
(一)1、-x2(-x)2(-x)3= 2、(-x5)+(-x7)5= 3、已知xn=5,yn=3,則(x2 y)2n值為 4、(-x)9÷x4÷(-x)3= (二)計算下列各題 1、(9/4×102)×(25×103)2×(-2×106)2 2、(4x4 y)(-xy3 )5 3、當a=-3/4時,求-2a(3a2-4a-1)-a(-6a2 +5a-2)的值。

4、若(x+a)(x2-6x+b)的展開式中,不含x2次和x項,則a= ,b= 。

5、(a+2)2-2a(a+2) 6、(x+3)(x+4)-x(x+2)-5 7、若x-y=2,x2 -y2 =10,則x+y= 8、(2m+1)(2m-1)(4m2+1)= 9、(x+2y-1)(x+1-2y)= 10、(-x-1/2)2= 11、若(x+y)2 =9,(x-y)2 =5,則xy= 12、若a2 +ma+9是完全平方式,那么m= 13、a2 +b2 =(a+b)2 - 14、(y+3)2-(3-y)2 = 15、(6×106 )÷(-3×103 )= 16、16m ÷4m ÷2=2( ) 17、(2/5x2 y2 -7xy2 +2/3y3 )÷2/3y2 18、長方形面積為4a2 -6ab+2a,一邊長為2a,則周長 是 三、分解因式 1、4x3 -6x2 = 2、m(a-b)-n(b-a)= 3、m2 -36 m2 = 4、(2x+y)2 -(x+2y)2 = 5、p4 -1= 6、若x2 -2(m+3)x+16是完全平方式,則m的值為 7、a2 -2a(b+c)+(b+c)2 8、1/2x2 -xy+1/2y2 9、xy2 -2xy+x 10、a2 b2 -a2 -b2 -1 11、(x+y)2 -2(x2 -y2 )+(x-y)2 12、x2 -5x+6 13、x2 -5x-6 14、x2 +5x-6 15、2x2 -20x+50 16、(a+2)(a-8)+25 17、a2 +2ab+b2 +4a+4b+4 18、已知a-b=3,ab=-1,求a2 b-ab2 的值。

19、證明:817 -279 -913 能被45整除。

20、已知:a、b為自然數且a2 -b2 =45,求a、b的值。

21、若x2 +y2 +2x-8y+17=0,求y/x的值。

22、若一個三角形邊長為a、b、c,且a2 +2b2 +c2 -2ab-2bc=0,試判斷該三角形的形狀,并說明理由。

23、若非零實數a、b滿足4a2 +b2 =4ab,求b/a的值。

24、若兩個兩位數的十位數字相同,而它們的個位數字之和為10,研究它們積的規律,并證明你的結論。

作業:P175 復習題15 思考題:
(1)設y=(x-1)(x-3)(x-4)(x-6)+10 證明:不論x取任何實數,y的值總大于0。

(2)分解因式:x2+4xy+4y2-4x-8y+3 (3)①若a2+ba+12能分解為兩個一次因式的乘積,且b為整數,則b= 。

②若a+12a+b能分解為兩個一次因式的乘積,且b為正整數,則b= 。

(4)在實數范圍內分解因式 ①x2-3 ②5x2-4 (5)證明:兩個相鄰奇數的平方差是8的倍數。

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